Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
DnQ/Dt = 0, (11.3.1).
где оператор Du/Dt определяется по (11.2.3), а функция Q — с помощью (7.10.10), т. е.
Q = (f + Ql{H + Ч) — (2Й sin ф + ?)/(# + г)). (11.3.2)»
Вывод этого уравнения в полярных координатах предоставляется читателю в качестве упражнения.
Для обсуждения малых отклонений от состояния покоя функцию Q можно представить в виде суммы членов различного порядка. Слагаемое нулевого порядка равно
Q = 2Q sin ф /Я зз f/H, (11.3.3)'
а слагаемое первого порядка
Q' = ЦН — 20, sin фт\/Н2. (11.3.4)
Уравнение для возмущения первого порядка можно при этом записать в виде
igl_|----+ = (11.3.5)'
dt 1 rcosqp дл 1 г dqp v '
В предыдущих главах внимание почти всегда было сосредоточено на весьма частном случае, когда Q было постоянным. Тогда (11.3.5) сводится к dQ'/dt = 0, т. е. в каждой точке Q' имеет фиксированное значение, определяемое соотношением
(7.2.10), что было использовано в гл. 7. Однако в том случае,, когда учитывается кривизна Земли, т. е. параметр /, определяемый формулой (11.2.9), меняется с широтой, этот результат уже неверен. Это же можно утверждать и для случая однородного.» океана переменной глубины, даже при постоянном f.
В результате свойства жидкой среды уже нельзя считать не зависящими от направления, поскольку тепер_ь имеется выделенное направление, определяемое изолиниями Q. В случае стационарного течения уравнение (11.3.5) показывает, что течение должно быть направлено по изолиниям Q. Это обнаружил в 1897 г. Хаф [357]. Для океана постоянной глубины изолинии Q совпадают с широтными кругами.
В задаче о шельфовых волнах был уже рассмотрен один случай непостоянства Q (разд. 10.12). Было показано, как волны низкой частоты могут распространяться вдоль изолиний Q. Далее можно будет убедиться в том, что аналогичный эффект будет характерен для случая, когда глубина Н постоянна, a f переменно.
11.4. ЭКВАТОРИАЛЬНАЯ БЕТА-ПЛОСКОСТЬ
Для движений в окрестности экватора можно применить приближение
sin qp р» ср, соэф»!. (11.4.1)
Оно дает так называемое приближение экваториальной (3-плоскости. Половина поверхности Земли заключена между широтами 30°, и максимальная ошибка в этой полосе широт составляет только 14 %• В рамках этого приближения (3 является кон-
стантой, определяемой формулой
(3 = 2Q.fr = 2,3 X Ю-11 m~‘c-1j (11.4.2)
(11.4.3)
где
у = г ф (11.4.4)
— это расстояние от экватора в направлении на север. Вместо долготы X используется расстояние от выбранной точки, измеренное в сторону востока:
х = г\.
При этом линейные уравнения (11.2.5) — (11.2.7) принимают вид du/dt — $yv — — g дг\/дх, (11.4.5)
dv/dt-{- $уи = — gdr\ldy, (11.4.6)
dr\fdi + д (Ни)/дх + д (Hv)/dy = 0. (11.4.7)
Выведенное ранее при постоянной Н уравнение (11.2.8) сохраняет свою форму. Параметр f в нем теперь определяется по .(11-4.3), а
l — dvjdx — dujdy. (11.4.8)
Аналогично, лапласиан записывается обычным образом в декартовых координатах. Выведенное ранее уравнение потенциальной, завихренности (11.2.14) также не меняется за исключением того,, что / и (3 теперь записываются в экваториальном приближении. То обстоятельство, что полученное уравнение, равно как и исходная система, могут быть выведены из полных уравнений простым использованием приближения (11.4.1), подтверждает, что содержащиеся в них ошибки не превосходят непосредственных ошибок этого приближения.
Уравнение для одной переменной v может быть получено сложением —($y/c2)d/dt от (11.4.5), (1/с2) d2/dt2 от (11.4.6),.
— (1/Я) d2/dydt от (11.4.7) и —д/дх от (11.2.14). В результате при постоянной Я получается
Отличия от уравнения (7.2.13) в приближении f-плоскости заключаются в том, что / теперь определяется по (11.4.3), и уравнение содержит член с |3.
Поскольку далее нам будет необходимо рассмотреть вынужденные движения на экваториальной ^-плоскости, желательно^ перед рассмотрением других форм этих уравнений добавить в-них члены, характеризующие вынуждающие силы. Тогда можно' будет представить себе ту форму, с которой они входят в выведенные уравнения. «Вынужденные» уравнения (11.4.5) — (11.4.7) имеют вид
Обозначения соответствуют использованным в формулах (9.9.10) и (9.9.15), т. е. (^,7) можно рассматривать как поверхностное-напряжение, а Е как интенсивность испарения. Однако функциям X, Y и Е можно давать и более широкую интерпретацию,, поскольку с помощью приведенных уравнений можно исследовать любые вынуждающие силы.
