Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Теория вынужденных внутренних волн Кельвина справедлива только для модели океана с постоянной глубиной. Горизонтальные границы области должны при этом быть вертикальными отвесными стенками. Если допустить существование у бе-
рега наклонных стенок, то изменения коснутся не только свойств волн Кельвина — кроме того, возникнут новые формы волн, связанные с наклоном дна. Эти новые формы волн не исчезают даже при отсутствии стратификации. В этом предельном случае они называются шельфовыми волнами. Рассмотрим свойства этих волн в однородном по плотности океане.
Итак, пусть в однородном океане глубина Н (у) зависит только от расстояния у от берега. Предположим, что масштаб изменений глубины (совпадающий с пространственным масштабом реакции) мал по сравнению с радиусом Россби, и используем приближение «твердой крышки». При этом в уравнении неразрывности (5.6.8) можно пренебречь отклонением поверхности, что дает
±-m) + JL(Hv) = 0, „ли ^ + ^ = (10.12.1),
При подстановке выражения для дивергенции в уравнение завихренности получаем
LJ^LV== о. (10.12.2)*
dt \дх ду ) Н ду 4 '
Теперь еще раз используем (10.12.1) для определения функции \\г.
Ни = — д^/ду, Hv=di>jdx. (10.12.3>
Исключим и и v из соотношения (10.12.2):
4- т4-) + -г-( тг -TL')l--^-4^44- = 0- (10.12.4)
dt I дх \ Н дх ) 1 ду \ IJ ду ) ) Н2 dy дх '
В полученном уравнении есть решения вида бегущей волны
= Н^2(р (у) exp (ikx — Ш) (10.12.5))
при ф, удовлетворяющем уравнению
d2cp , ( d ( 1 dH \ ( 1 АН \ 2 ,2 1 AIL\m___п
dy2 \ dy\2H dy ) 4 2Н dy ) ' о) Н dy
(10.12.6)
Наиболее простым оказывается случай экспоненциального роста глубины с удалением от берега, т. е.
Н — Я0ехр(2Яг/). (10.12.7)
Решение имеет вид
Ф ~ sin ly, (10.12.8)
а дисперсионное соотношение получается следующим:
со = 2//гЯ/(/г2 -f-1~ -f- А,2). (10.12.9)
Дисперсионная кривая при фиксированном значении / показана на рис. 10.17.
Рассмотрим случай типичного значения Х~1 = 30 км. Значение I зависит от ширины зоны экспоненциального изменения глубины и характеристик океана вне этой зоны. Обычно / может иметь бесконечное множество значений, причем минимальное из них оказывается близким к X. Рассмотрим волну с I = X. Вызванные штормами возмущения с такими пространственными
Рис. 10.17. Дисперсионная кривая (10.12.9) «волны континентального шельфа» для экспоненциально растущей с удалением от берега глубины. Фазовая
¦скорость имеет то же направление, что и у волн Кельвина, т. е. мелкая зона
находится в Северном полушарии справа. Групповая скорость длинных волн имеет такое же направление, а коротких—противоположное.
масштабами имеют большие по сравнению с А,-1 значения k~l, поэтому скорость их свободного распространения дается формулой
®lk = 2fX/{l2 + X2). (10.12.10)
В случае 1 — Х она равна f/X, т. е. примерно 3 м/с. Направление движения зависит от знака / и совпадает с направлением волны Кельвина (при условии роста глубины с удалением от берега). Максимальная частота равна
“,„аХ = А(г2 + ^Г|/2- (ю.12.11)
Она никогда не превосходит / и равна 0,7/ при / = X. При этой частоте вдольбереговая составляющая групповой скорости становится нулевой. По этой причине такие постоянные особенности рельефа шельфа, как хребты и каньоны, могут порождать волны соответствующего масштаба, а именно (/2 -f Х2)~]/2, с характерными значениями около 20 км [525]. Имеются свидетельства, что на этой частоте спектры когерентности течений и уровня моря имеют максимум [156] . Фазовая скорость более коротких волн имеет то же направление, что и у длинных волн, но направления их групповых скоростей противоположны.
Этот механизм (см. [479, рис. 13]) проиллюстрирован на рис. 10.18. Сплошной линией показаны траектории частиц, находившихся в своем невозмущенном состоянии на изобате, па-
раллельной берегу. При движении частица сохраняет свою потенциальную завихренность Q (см. (7.10.9)), которая при пренебрежении движениями на поверхности дается формулой
Q =*(/ + ?)№ (10.12.12)
где ? — относительная завихренность частицы, а Я— глубина. Если обозначить через Янев глубину в невозмущенном состоянии (? =0), то Q = f/Яде в и соотношение (10.12.12) дает:
S/f — (Я — Я иев)/Янев. (10.12.13)
Таким образом, отклонение частицы в более глубокое место (от берега) сообщает ей циклоническую завихренность, а отклонение в мелкую зону (к берегу) — антициклоническую.
Мелкая область
Глубокая atf/racm
Рис. 10.18. Механизм распространения шельфовых волн. Сплошная линия соединяет точки расположения частиц, лежащих в невозмущенном состоянии на изолиниях глубины. Для того чтобы сохранялась потенциальная завихренность, необходимо, чтобы частица смещающаяся в более мелкую зону, приобретала антициклоническую относительную завихренность, а частица, смещающаяся в более глубокую область — циклопическую. Направление относительной завихренности показано для Северного полушария. Движение, вызываемое этим полем завихренности, показано широкими стрелками. Оно приводит к перемещению частиц в положения, отмеченные штриховой линией.
