Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
Эллиассен [190] попытался вывести общие уравнения для такого типа движений и нашел частные решения для точечных источников тепла (или момента количества движения). Позднее
теория этого вопроса обсуждалась Чарни [122]. В этом разделе будут построены решения для случая малых отклонений от состояния покоя в однородно вращающейся несжимаемой жидкости с постоянной частотой плавучести N при условиях, допускающих использование приближения Буссинеска. Будет решаться уравнение (9.13.3), а сам метод исследования бароклин-ных движений будет заключаться в обобщении полученных в последнем разделе решений с помощью аппарата суперпозиции мод (разд. 9.10).
В выбранном примере воздействие осуществляется за счет плавучести, сконцентрированной в узком районе в атмосфере. Такое возмущение может создавать, например, выделение скрытой теплоты во внутренней части урагана. Это соответствует вынуждающей силе, сконцентрированной на некоторой вертикальной оси, что позволяет получить решения, обладающие осевой симметрией. Более наглядным, однако, оказывается другой случай, когда воздействие сосредоточивается на плоскости у = = 0. В решение при этом входят более простые функции, а его характер в принципе не сильно отличается от случая осевой симметрии.
Поскольку N постоянно, нормальные моды являются синусоидами (6.11.21) и их суперпозиция имеет вид интеграла Фурье (6.12.4). Поэтому есть смысл выразить в виде фурье-ин-теграла и саму вынуждающую силу плавучести. Общий вид выражения при условии, что воздействие сконцентрировано на линии у = 0, таков:
оо
В[ — Ь{у)\^ BQ(m) sin mz dm. (9.15.1)
о
Реакция на указанное воздействие (см. (6.11.21) и (6.11.22)) представляется следующим образом:
ОО
р'(у, z, t) = (j ц{у, t, in) cos mz dm. (9.15.2)
0
Подстановка этого выражения в основное уравнение (9.13.3) приводит (см. (9.10.12)) к уравнению для одиночной моды, а именно (при d/dt < /)
(9-15.3)
Форма вынуждающей силы была намеренно выбрана так, чтобы ее можно было записать в виде (9.14.8) и решение получилось в том же виде, что и (9.14.10). Его можно представить в
(9.15.2) и получить общее бароклинное решение для медленного
воздействия за счет источника плавучести, сосредоточенного на линии у = 0:
оо
р' = BQ(m) exp {—fm\ у \/N) cos mz dm. (9.15.4)
о
Для некоторых специальных видов В0(т) решение получается особенно простым (см. (6.12.5)). Например, при
Bq = 2B[D exp (— mD), (9.15.5)
соответствующем случаю, когда
В' = 6 (у) 2В{ DzJ{D2 + z2), (9.15.6)
максимум воздействия имеется при z = D, и решение (9.15.4) записывается в виде
ft BtD(D + f\y\/N) (Q-iK7\
р N (D + f\y\/Nf + z2 •
Решение показано на рис. 9.12 и характеризуется следующими свойствами. Дельта-функция в (9.15.6) может считаться признаком концентрации эффекта плавучести в некоторой области малых горизонтальных размеров, в которой очень сильны вертикальные движения, и уравнение (9.13.5) упрощается следующим образом:
p0N2w = B's. (9.15.8)
Другими словами, вертикальное движение оказывается пропорциональным силе плавучести, и вертикальный поток массы в этой узкой области может быть рассчитан весьма точно. Соответственно приток массы, необходимый для поддержания данного подъема, также оказывается известным, что позволяет
предложить условие для течения вне узкой области сосредоточения эффектов плавучести.
Во внешней области нет вынуждающих сил и р' пропорционально времени, так что соотношение (9.13.3) сводится к уравнению потенциального течения
д2р/ду2 + d2p'ldz\ = 0. (9.15.9)
(Здесь использована «растянутая» координата z3, определяемая формулой (8.8.25).) Решение для потенциального течения однозначно определяется по известному притоку вдоль линии у — 0, условиям отсутствия течения при г = 0 и его затухания при у-* оо. Решение, показанное на рис. 9.12, оказалось очень близким к решению с точечным источником, расположенным вне рассматриваемой области.
Поток в плоскости у, z можно выразить через функцию тока *ф, существование которой вытекает из уравнения несжи-
Ф
Рис. 9.12. Решение Для источника плавучести, сконцентрированного иа оси у. Мощность источника Плавучести на оси меняется с высотой от нуля на земле до максимума при г = D (где штриховая линия с отметкой 0 пересекает ось z) и далее снова падает до нуля при z-»-oo. Восходящее движение вдоль оси пропорционально мощности источника плавучести. Компенсационное нисходящее движение на удалении от оси оказывается медленным, стационарным и потенциальным в соответствующим образом масштабированной системе координат. Опускающийся воздух нагревается с постоянной скоростью, что приводит к равномерному падению давления. Движение к оси имеет изаллобарический характер и оказывается сбалансированным с уменьшающимся 6о времени давлением. Двигаясь к оси, жидкость с постоянной скоростью приобретает импульс, нормальный к плоскости рисунка. Его значения отмечены штриховыми линиями. Знак минус соответствует циклоническому вращению вокруг оси г. В использованных в тексте обозначениях для функции тока применяются единицы BJN2, а для ^-составляющей скорости Bift/(p0N2D).
