Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
В случае несжимаемой жидкости (cs = оо) задача наиболее проста. Используя в (9.13.4) уравнение гидростатики (6.11.2), получим
d2p'ldz dt + р0Я2да = B's. (9.13.5)
Если применить разложения (6.13.1) (для атмосферы, имеющей только нижнюю границу, суммы следует заменить на интегралы), записать разложение для В'а в форме
оо
?s= Z P0N2fin(z)bn(x, г/, t) (9.13.6)
п = 0
и использовать формулу (6.11.7), то вместо приведенного ранее соотношения (6.11.8) получится
wn = dr\/dt + 5a. (9.13.7)
Вместе с соотношением (6.11.9) это уравнение составляет систему вынужденных уравнений теории мелкой воды. Другая
единицах
форма записи этих уравнений (9.9.15) получается при объединении (9.13.7) с уравнением неразрывности (6.4.3), записанным в терминах нормальных мод. Подстановка разложений (9.10.2) для (и, v) и (6.13.1) для да дает выражение
®п + Нп(дйп/дх + ддп/ду) = 0, (9.13.8)
которое полезно сравнить с (6.11.13). Теперь, объединяя равенства (9.13.7) и (9.13.8), получим уравнение
dr\n/dt + Нп (дйп/дх + dvjdy) = - dr\Цд1, (9.13.9)
которое совпадает с (9.9.15) за исключением того, что ir}J определяется в нем формулой
т\1=\ьпШ. (9.13.10)
В случае сжимаемой жидкости получаются точно такие же уравнения, поэтому их вывод предоставлен читателю. При использовании изобарических координат B's можно записать в виде соответствующего разложения в ряд или интеграла, в котором вклад каждой моды будет представлен в виде
Bs = p0NN.p:{l2fi,(z,)b(x, у, /). (9.13.11)
Как и в случае ветрового воздействия, значения бп легко рассчитываются с учетом свойства взаимной ортогональности мод.
Метод нормальных мод не всегда оказывается наиболее удобным способом исследования физических проблем. Иногда более полезным оказывается рассмотрение полной системы уравнений, которую можно свести к двум уравнениям, включающим только да и р' (или да* и Ф"). В случае несжимаемой жидкости из уравнений движения по горизонтали можно вывести уравнение (8.4.8) для горизонтальной дивергенции, а именно
( д* ?2\ dw — 1 д (д%Р' I д*Р' Л (Q 1 Q 1 0\
1ж+ + (9.13.12)
С учетом уравнения (9.13.5) оно сводится к одному единственному уравнению либо для да, либо для р'. Например, для возмущения давления оно имеет вид
± { J_ (?pL + _i_ (Л. 4- fA Л Г-J— \ =
dt X ро V дхг ' ду2 ) Ч dt2 ' ' ) dz V. р0N2 dzj)
= (i + p)^(^)- <9ЛЗЛЗ>
Это уравнение полезно сравнить с (8.16.13), выведенным для медленного движения жидкости в отсутствие вынуждающих сил.
В случае сжимаемой жидкости уравнение, соответствующее
(9.13.12) (сравнить с (6.17.19)), имеет вид
/а2 p\(dw, w.\__ д f д2Ф" з2Ф" \ /01ЧНч
тогда как уравнение, соответствующее (9.13.5) (см. (6.17.23)), записывается так:
jv;2(fqy'ldz. di + w, = р; (9.13.15)
Объединяя их, получим
9.14. РЕАКЦИЯ НА СТАЦИОНАРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ:
БАРОТРОПНЫЙ ПРИМЕР
При стационарном (не движущемся) возбуждении реакция должна нарастать со временем до тех пор, пока не начнет действовать трение или какой-либо другой уравновешивающий механизм. Если процесс симметричен (например, когда имеются зависимости только от расстояния г от некоторой фиксированной точки или расстояния у от заданной линии), то можно найти простые частные решения такой задачи. Они воспроизводят течение, которое всегда оказывается близким к геострофическому, но непрерывно меняется во времени из-за действия вынуждающих сил. Поскольку подобная эволюция в состоянии, близком к геострофическому равновесию, типична для медленных процессов приспособления в океане и атмосфере, ее изучение оказывается весьма важной задачей.
Давний пример этого типа приспособления был рассмотрен в 1897 г. Хафом [357] при расчете баротропной реакции океана на воздействие разности «осадки — испарение», которая задавалась в виде функции широты. Расчеты были выполнены в сферической системе координат, но их можно проиллюстрировать на простом случае течения на /-плоскости с вынуждающей силой, заданной как функция только от у. При этом (9.9.14) и
(9.9.15) имеют простое решение, при котором приведенный уровень моря т]' и зональная скорость и линейно меняются во времени, а меридиональная скорость v от времени не зависит. Итак,
(9.9.14) и (9.9.15) упрощаются следующим образом:
du/dt — fv, (9.14.1)
/и = —- gdr\jdy, (9.14.2)
дф1 + Н dvldy = - drfldi = (Р — Е)/ р. (9.14.3)
Индекс «р» и штрих можно опустить, поскольку в задаче не учитываются соответственно влияние ветра и градиентов давления. Как видно из (9.14.2), в этом решении существует точный геострофический баланс для зональной составляющей потока, которая линейно растет со временем и оказывается поэтому наиболее существенной. Вместе с тем меридиональная составляющая уже не находится в геострофическом равновесии с градиентом давления.
