Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
дГ/di = - (f2/(gH)) dr)E/dt = - (f2/gH) wE, (9.12.1)
полученной с помощью (9.4.4). Для ламинарного потока wе определяется формулой (9’.6.5). Возмущение давления в слое мелкой однородной жидкости записывается как pgr], так что (9.12.1) превращается в
дЗГ/д( = -Н~1 fvyl2(d2r)/dx2-{-d2v\/dy2). (9.12.2)
Подстановка этого выражения в производную по времени от уравнения (9.9.21) и повторное использование предположения, что d/dt <С f, дают
да+$• - ? ч']=- я- (^п-^+$-] • <9-12-з>
Отметим, что поскольку в состоянии покоя цг постоянно, а т) — нет, в уравнение входит не т), а г\'.
Для синусоидального возмущения с волновым числом и это уравнение приобретает вид
(f2 + х2с2) dr]'/dt — — 1/2 gn2r\r (9.12.4)
и показывает, что возмущения затухают с характерным временным масштабом
/1 х —1/2
= (1 + f2/A2) я (| fv) , (9.12.5)
называемым временем спин-апа (спин-дауна). Если масштаб мал по сравнению с радиусом Россби а = c/f, то время спин-дауна не зависит от волнового числа и определяется по формуле
= (9.12.6)
Это в точности равно значению в однородной жидкости при граничном условии «твердой крышки» (при а = оо), которое обсуждалось в книге [279]. [Замечание: если поток является турбулентным, то подходящее значение вихревой вязкости можно получить из соотношения (9.6.6), приводящего к формуле
'„, = #*). (9.12.7)
Здесь cDg — коэффициент сопротивления, a uav — среднее значение скорости вне пределов пограничного слоя. Вместе с тем следует иметь в виду, что проведенные построения по существу представляли собой попытку описать линейным образом нелинейный процесс. Более подходящей была бы формулировка с использованием осредненных по вертикали уравнений (9.9.10) и определением донного трения по формуле турбулентного сопротивления (9.5.1).]
Противоположный предел, когда масштаб волны велик по сравнению с радиусом Россби, соответствует следующей приближенной записи уравнения (9.12.3):
dr\'/dt — хЕ (д2г\'/дх2 + д2ц'/ду2) = 0, (9.12.8)
т. е. уравнению диффузии с коэффициентом ие, связанным со спин-дауном в экмановском пограничном слое и определенным по формуле
*E = ff(jfv)'7P- (9-12.9)
В этом случае жидкость стремится к состоянию равновесия так, как если бы ее поведение контролировалось диффузионными процессами. (Отметим, что аналогичный результат получается в задаче о спии-дауне во внутренней области. Он возникает за
счет вязкости, которая влияет на поле плотности как горизон-
тальная диффузия с коэффициентом vN2/f2. См. [249,226].)
Другой способ учета трения состоит в использовании осредненных по вертикали уравнений (9.9.10) с аппроксимацией донного трения в виде (9.6'.4). С учетом того что г < f, они имеют вид
du/di fv— g дфх ru,
dvjdt^r fu = — gd^jdy — rv, ( ¦ • )
где
r = (!h)'/2/ff (9.12.11)
есть величина, обратная времени спин-дауна для движений с пространственными масштабами, малыми по сравнению с радиусом Россби. Если исключить v из (9.12.10), то получается соотношение
(гd/di)2 иf2u =— fgdr\/dy — (г -j- d/di) gd^/dx. (9.12.12)
Для медленного приспособления (d/dt <С f) со слабым трением (г < /) движение является квазигеострофическим (см. разд. 8.16). Это значит, что в первом приближении движение геострофично, но для определения вертикальных движений необходимо рассмотреть следующее приближение в уравнениях движения. Другими словами, уравнение (9.12.12) аппроксимируется так (см. [324]):
и = — f~lg дц/ду — /”2 (г -f- d/di) g дц/dx,
' ‘ (9.12.13)
v = f gd^/dx — f {гд/di) g дг\/ду.
Геострофическое слагаемое не дает вклада в дивергенцию. Она получается за счет двух других слагаемых: изаллобариче-ского и члена, характеризующего придонное трение:
du/dx + dv/dy = — f ~2 (г -J- d/di) g (d2r\/dx2 + d2,r\ldy2). (9.12.14)
Если временной масштаб процесса мал по сравнению с временным масштабом сил трения, то в правой части полученного уравнения преобладает временная производная. В противоположном случае в уравнении доминирует член, характеризующий экмановскую дивергенцию. Другими словами, изаллобарические члены оказываются более существенными, чем порожденная трением конвергенция, если временной масштаб процесса меньше времени спии-дауна. Для больших отрезков времени верно обратное. Большое значение расчета конвергенции объясняется тем, что через уравнение неразрывности (5.6.6) она тесно связана с отклонением поверхности. Комбинируя его с уравнением
(9.12.14), мы вновь получаем основное уравнение (9.12.3).
Как показано в разд. 9.5 и 9.6, для небаротропного потока донное трение можно рассчитать по известным придонным течениям, хотя однозначной связи между ними и течениями в основной области уже не существует. Однако это не совсем верно в особых обстоятельствах, например, когда почти вся энергия потока сосредоточивается в одной конкретной моде. В этом случае для расчета времени спин-дауна оказывается полезным уравнение баланса энергии. Квазигеострофические уравнения, воспроизводящие законы движения несжимаемой жидкости, записываются в виде (8.16.7) и (8.16.12). Если первое из уравнений
