Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
час мы рассмотрим вклад одной конкретной моды, поэтому индекс п будет далее опускаться.
Характер решений (9.11.2) сильно зависит от того, превышает ли скорость шторма U скорость волны с или нет. Для медленно движущихся возмущений (U < с) уравнение (9.11.2) является эллиптическим, в то время как для быстро движущихся возмущений (U > с) оно становится гиперболическим. Значение этого различия и основные свойства решений удобно продемонстрировать, рассматривая случай, когда ветер имеет постоянное направление и следующую форму (см. рио. 9.7, б) :
Г У о sin при | &? | < зт, х, = 0, = { ° * (9.11.3)
(.0 в противном случае.
Это соответствует ситуации, когда до прихода центра шторма ветер дует в одну сторону, а после — в другую. Вынуждающая сила в этом случае записывается в соответствии с (9.10.13) в виде
_ { — (fY0/(pgHFU)) sin kl при \kl\<nt
— s _ (9.11.4)
I, 0 в противном случае. *
Для медленно движущихся возмущений, когда уравнение
(9.11.2) является эллиптическим, решение экспоненциальным образом затухает с удалением от возмущения:
{г [sin k\ + kaF exp (—я/kaF) sh (l/aF)] при | k% | < я,
rkaF sh (n/kap) exp (— ?/| aF'|) sgn (g) в противном (9.11.5)
случае,
где
_с%_------------ c2fY о (9.11.6)
рgHFfU (l + /г24) рgHFU [f + k2 (с2 - U2)]
есть показатель амплитуды отклика, а аР, который определяется по формуле
a2=(c2-t/2)/f2, (9.11.7)
представляет собой модифицированный радиус деформации Россби. При малых &aF, когда либо шторм силен, либо его скорость близка к с, отклик имеет почти такую же форму, как и
вынуждающая сила, и приближенно записывается в виде
т} = _ с22Г/р = c2Ys/(pgHFfU). (9.11.8)
Этот эффект явно выражен на рис. 9.7, который демонстрирует реакцию на шторм, имеющий фиксированные размеры (k = f/c) и движущийся с различными скоростями. В случае (а) U2 — = 0,5 с2, что соответствует k2a2F — 0,5, график реакции представляет собой «расплывшийся» график вынуждающей силы. В слу-
Рис. 9.7. Отклик океана на движущийся двумерный шторм. Напряжение ветра У* перпендикулярно траектории шторма и меняется с расстоянием вдоль его пути, как показано на рис. (б). По вертикальной оси отложена переменная Ys/Y0, где У0 — максимальная величина напряжения. Расстояния по оси | измеряются в радиусах Россби c/f, где с — скорость длинных гравитационных волн при отсутствии вращения, a f — параметр Кориолиса. Шторм смещается вправо (на рисунке) со скоростью 11, а рис. (а) — (в) показывает реакцию при различных значениях: U: (a) U — (0,5) 1/2с, (б) U — с, (в) U= = (1,5)1/2с. Единица измерения г\ равна cY0/{pfgHF), где р — плотность, g — ускорение свободного падения, а Яр — определенная в тексте эквивалентная глубина для вынуждающей силы. Отклик стационарен и движется вместе со штормом. В случае (а) уравнение получается эллиптическим, и отклик сосредоточен в окрестности шторма, в случае (в) уравнение гиперболично и за штормом возникает волновой шлейф. Случай (б) пограничный, в котором отклик имеет ту же форму, что и вынуждающая сила. (г). Изменение амплитуды (единицы измерения прежние) волнового шлейфа в зависимости от скорости перемещения шторма. Также показаны соответствующие значения отношения волнового числа /г вынуждающей силы к волновому числу свободных волн k? (и, следовательно, волнового шлейфа).
чае (б) U = с, когда шторм двигается со скоростью длинной гравитационной волны (или короткой волны Пуанкаре), формы реакции и вынуждающих сил совпадают.
Интересен другой предельный случай, когда скорость шторма стремится к нулю. С уменьшением скорости U форма реакции меняется несильно (и выглядит подобной той, которая показана на рис. 9.7, а), однако амплитуда бесконечно растет как
1 /U. При неподвижном шторме (U — 0) необходим иной подход, так как экмановская подкачка в каждой точке происходит с неизменной скоростью, и следовательно, возмущения могут линейно расти во времени. Этот вид реакции рассматривается в разд. 9.14.
Для более привычного случая быстро движущегося шторма (U > с) уравнение 9.11.2 имеет гиперболический вид и тригонометрические, а не экспоненциальные решения. Теперь в качестве граничного условия на бесконечности надо взять условие излучения, которое означает, что никакие волны не должны распространяться впереди возмущения. Физически это объясняется тем, что максимальная групповая скорость волн Пуанкаре равна с, так что ни одна волна не может находиться впереди возмущения. Решение записывается в виде
[ 0 при k\ > я,
т] = | г [sin k (k~ln — ?) — (k/kF) sin kp (k~ln — |)] при | k% | < я,
[ — 2Г (k/kF) sin (nkp/k) COS при k\ < — Я,
(9.11.9)
