Динамика атмосферы и океаны - Гилл А.
Скачать (прямая ссылка):
И;° (9.10.2)
(и, ») = ?(«*(*> У» 0» М*, У, 0) Pn(z)/(Pog).
п=0
Эта форма записи выбрана так, чтобы получить для каждой моды уравнения, эквивалентные уравнениям мелкой воды. Действуя в том же духе, запишем вынуждающую силу в правой части (9.10.1) в виде (см., например, [251])
со
Р-' (дХ/дг, dY/dz) (Хп(х, у, i), Y„(X, у, Г))РпШт)- О-10.3)
/1 = 0
Подстановка (9.10.2) и (9.10.3) в (9.10.1) дает для каждой моды уравнения
diijdi — fS„ = — gdr\Jdx + ]?n,
^ (9* 10.4)
dvjdt + fun = — g dr\n/dy + Yn,
т. e. те же самые уравнения, что и (9.9.10) для мелкого однородного океана, однако с учетом вынуждающих сил, представ-
ленных более компактным образом.
Векторную величину (Хп, ?п), которая входит как вынуждающая сила в (9.10.4), легко рассчитать с учетом свойства (6.13.4) ортогональности нормальных мод. Так, если равенство (9.10.3) умножить на pm(z) и проинтегрировать по глубине, то для Хт получится
\ 'mdz=== \ ~9^~dz^mdz’ (9.10.5)
-я -я
Для ?т формула имеет аналогичный вид. Если, в частности, использовать приближение Буссинеска, т. е. считать р0 постоянным, а для баротропной моды использовать приближенное ре-
шение (6.11.19) (означающее, что ро постоянно), то соотношение (9.10.5) дает
X0 = g(Xa-Xb)/(f>0H). (9.10.6)
Если рп не нормированы, то числа fj„ в (9.10.2) не имеют само-
стоятельного значения. Однако нормировку можно сделать в каждом конкретном случае. Например, если основной интерес вызывает отклонение поверхности, то рп можно нормировать так:
Рп(0) = Р0? (9.10.7)
для всех п. При этом из (9.10.2) вытекает, что г\п характеризует вклад моды с номером п в отклонение поверхности. В частности, вынуждающая сила баротропного характера при использовании нормировки (9.10.7) в выражении (9.10.6) определяется формулой
*о = №,-*ь)/(РоЯ)- (9.10.8)
При этом соотношения (9.10.4) становятся такими же, как и
уравнения (9.9.10) для осредненных по вертикали движений.
Оценка Хт для бароклиниых мод требует информации о характере изменения дХ/дг с глубиной. Если предположить, что изменения dX/dz по 2 определяются формулой (9.3.4), т-. е. если в перемешанном слое напряжение с глубиной меняется линейным образом, то (9.10.5) упрощается до
г fit, dz X„ г Pmdz
\ —— = -тг^— \ —— (9.10.9)
3 Роб" ^nep. ' Po
! nep
¦H -H
nep
(и аналогично для ?m). В правой части выражения стоит средняя величина рп в перемешанном слое. Для первых двух мод она близка к поверхностному значению рт(0).
Выражения для Хт, ?т можно переписать в виде, который напоминает формулу (9.10.8) при отсутствии донного трения,
А, ?»)-(*, П)/(Ро^). (9.10.10)
где Н?т можно назвать эквивалентной глубиной вынуждающих сил для моды т. Так, используя нормировку (9.10.7), Вюнш и Гилл [876] определили, что Щ для экваториальной части Тихого океана находится в пределах от 270 до 290 м. Глубину вынуждающих сил нельзя путать с обыкновенной эквивалентной глубиной, связанной с волновой скоростью соотношением (6.11.14) и равной.для первой бароклинной моды в экваториальной части Тихого океана (в соответствии с теми же расчетами Вюнша и Гилла) 0,7—0,8 м.
Для моды п выполняются уравнения (9.10.4) и уравнение неразрывности (6.11.13), а именно
dx[rJdt + Нп (дйп/дх + dtijdy) = 0, (9.10 Л1)
где Нп — эквивалентная глубина (но не эквивалентная глубина вынуждающих сил). Эту систему уравнений можно преобразовать таким же способом, какой был использован в конце разд. 9.9, и получить уравнение, эквивалентное (9.9.21),
<9Л0Л2>
где &~п задается соотношением
дРп __ 1 д гдХп . дУп\ . f / дУп дХп\
dt g dt \ дх ' ду ) ' g \ дх ду )
1 а / dXs , дУ5 \ , f / dYs dXs \
'
dt\dx ' ду ) V дх дУ
+ (9.Ю.13)
iHl \ dt2 ' ' ) dt
Два последних равенства следуют из соотношений (9.10.10) и
(9.4.6).
Проведенные преобразования выполнены на примере непрерывно стратифицированной жидкости, но способ вывода аналогичных уравнений имеется и для случая двухслойной жидкости со слоями различной плотности, который рассматривался в разд. 6.2. Применяя приближение Буссинеска и учитывая дополнительно эффекты ветра в соответствии с формулой (9.3.4) при ЯПер = #1, уравнения (6.2.3) для верхнего слоя вращающейся жидкости можно записать следующим образом:
