Теория нейронных сетей - Галушкин А.И.
ISBN 5-93108-05-8
Скачать (прямая ссылка):
6.2. Аналитическое представление разделяющих поверхностей в типовых нейронных сетях
Методика построения оптимальных моделей нейро сетей, предназначенных для распознавания К классов зов достаточно подробно описана в работах [6.1-6.3]. В ципе оптимальные модели некоторых нейронных сетей, п назначенных для распознавания К классов образов можн лучить из выражений для оптимальных моделей нейро сетей более общего типа, рассматриваемых ниже. В случ
классов образов, так же, как и в любом другом случае, получение выражений для оптимальных разделяющих поверхностей производится следующим путем: записывается выражение для минимизируемого функционала первичной оптимизации и решается задача минимизации функционала первичной оптимизации с учетом существующих ограничений.
Оптимальная модель нейронной сети, предназначенной для распознавания К классов образов, определяется системой неравенств, определяющих деление исходного пространства признаков на К областей с отнесением каждой области к тому или иному классу. Рассмотрим построение оптимальных моделей нейронных сетей, приведенных в табл. 6.1.
Нейронная сеть типа 3. Система распознавания образов, оптимальная по критерию максимума апостериорной вероятности (в случае двух решений), преобразует входной сигнал х(п) в выходной у(п) в соответствии со следующим соотношением:
[ 1 при / (е =1/х) > / (е = -1/х),
У (*0= 1
I -1 при / (е = -1/х) > / (е =1/х).
Разделяющая поверхность проводится по тем точкам х, для которых апостериорные вероятности принадлежности к первому и второму классу равны. Та область многомерного пространства признаков, где апостериорная вероятность принадлежности х к первому классу больше, чем апостериорная вероятность принадлежности ко второму классу, принимается за область первого класса. Однако во многих практических задача? принадлежность точек многомерного пространства признаков i тому или иному классу должна указываться с определенно] уверенностью. В случае одной разделяющей поверхности, ха рактерной для системы 1, эта уверенность уменьшается по мер приближения к разделяющей поверхности и равна нулю на не)
Система распознавания двух классов образов типа За имее Две разделяющие поверхности. Эти поверхности делят простра! ство признаков на три части ( I, II, III, рис. 6.2 ) с зоной нечу] ствительности, в которых нейронная сеть указывает прина; ¦неясность текущего образа на входе: I область - к первому кла СУ, II область - ко второму классу, III область - ни к первом ии ко второму (либо и к первому и ко второму) классу.
Рис. 6.2. К делению простру признаков двумя разделяющим верхностями '¦
Уверенность ответа нейронной сети, как системы ра| навания образов о принадлежности текущего образа х шй де, например, к первому классу должна определяться ря цей апостериорных вероятностей принадлежности к пер| и ко второму классу. В этом плане многомерное прострай признаков должно делиться на три части: |
- область I соответствует решению нейронной сети о ]
надлежности ее к первому классу |
fit =-1/х) - dj > f"(e = 1/х); j
- область II соответствует решению нейронной сети о] надлежности ее ко второму классу
fit =-l/x) + d2</"(e = l/x);
- область 111, в которой нейронная сеть либо вообг
может ответить на вопрос о принадлежности текущего i к первому или второму классу, либо отвечает на этот вон некоторой вероятностью ,
Г(е =-l/x) - d, < fit = 1/х); -i
Г(е =-1/х) + d2 > /"(е = 1/х).
Здесь величины dl и d2 (0<dj<l, 0<d2<l) определяют ^ пень уверенности нейронной сети в отнесении образов на ] де к первому или второму классу. В частном случае воз» но, что dj=d2=d или dt= d2=d=0. В последнем случае ваг с двумя разделяющими поверхностями вырождается в ант с одной разделяющей поверхностью. В случае двух paf ляющих поверхностей система распознавания образов с ofj
„ьными параметрами разделяющих поверхностей преобразует входной сигнал х(п) в выходной у{п) (указание системы о принадлежности текущего образа к тому или иному классу) ^дующим образом: х(п) в области 1 - y(n)=-1 (1-й класс); *(«) в области II - у(п)=1 (2-й класс); х(п) в области III -2/(п)=0 (1-й и 2-й класс).
Общее выражение для разделяющих поверхностей, оптимальных по величине апостериорной вероятности, имеет вид
Pj/iW
Р: Л(х) +Р2/2(х) P)/i(x)
--4 =
Рг/2(х)
PiA(x) +Р2/2(х) Преобразовывая, получаем
+ 4=
Pi/i(x) +Р2/2(х) Рг/2(х) Pi/i(x) +р2/2(х)
^"(х)=
/2(х) (1-dj) Pj
/j(x) (1+dj) р2
/2(х) (l+d2) Pj
Л(х) (l-d2) p2
(6.1)
Это окончательное выражение для разделяющих поверхностей, когда в качестве критерия первичной оптимизации используется величина апостериорной вероятности. В [6.1, 6.2] представлена более подробная интерпретация величин dj и d2 через условные плотности / '(х/е) и /"(е/х).
