Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Эйген М. -> "Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул" -> 30

Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул - Эйген М.

Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул — М.: Мир, 1973. — 224 c.
Скачать (прямая ссылка): samoorganizaciyamaterii1973.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 73 >> Следующая

1 + tQ + t2Q42\ + ... (11)
Для определения величин р^ (t) и соответствующих qц некоторым свойствам детерминистических уравнений дается вероятностная интерпретация (ср. табл. 10).
Таблица 10
Линейные процессы рождения и гибели как цепи Маркова, по А. Бартоломею [68]
Дано детерминистическое уравнение
х = (Р-&)х (1)
и его решение
х (t) = * (/ = 0) е<<5Г_Я) К (2)
где и Ж — константы.
Продолжение табл. 10
Для малого интервала времени между ^ и t\ + результирующей изменение Axi в популяции равно А г
+ (3)
Х\
где 0 (Д/i) включает в себя все бесконечно малые высших порядков. Дti выбирается достаточно малым, чтобы в этом временном интервале имели конечное значение лишь вероятности образования нли распада одной копии, которые даются выражениями
Т*\ Д*1 + 0 (A^i) или 52*1 Д*1 + О (Д^). (4)
Тогда численность популяции может измениться только на плюс или минус единицу; таким образом, разрешены только переходы Si -> Sj—i или Si->Sj+i (i=l, 2, ...), и эти переходы могут происходить только в результате одного элементарного события (множественные рождения и гибели, дающие в сумме изменение на ±1, исключаются). Далее, переход S0 ->Si .имеет нулевую ^вероятность, так как, достигнув состояния S0, система «вымирает». Используя разложение рг^(?) в ряд
Pii (A*i) = Pi, (°) + Pil (°) A'i + Рц (°) Щг + • • ••
строим Q-матрицу согласно уравнениям (6) и (7) в табл. 9 н после сравнения с выражениями (4) в настоящей таблице получим
^-i(A'i) = ^i-iA'i + °(A'i)’ (5)
/»i.i+i(A#i)-?i.t+i^i + °(A'i)* (6)
= ^г, г +1 “ Q ц~ 31) (7)
(г= 0, 1, 2,... — состояния популяции).
Теперь можно построить «прямые» и «обратные» уравнения, приведенные в табл. 9:
Pi k (0 = ~ k & + Я) Pi ft (0 +(*“») & Pi, k-i (О +
+ (k+l)3lpiik+l(t), (8)
Pi kV) = - * (?F + X) plk (0 + iFpl+h k (t) + iStPl_u k (0- (9)
Чтобы решить этн уравнения, введем «производящую функцию вероятностей»:
(*. о=2 skPi k (*)• <10)
Из бФ/ds н ЭФ/dt получим
d4>i/dt - (s - 1) (P's - 31) d<hfds = 0 (11)
с дополнительным уравнением
dt ds ....
Продолжение табл. 10
интегрирование которого для двух случаев F Ф 3L и F — 01 ведет к общему решению уравнения в частных производных для производящей функции:
*-я)- ЫЯ'-Ъ1 -г)s 1г . .,
\ 13)
Ф{ (s, t) =
-]•
{Fe{sr~X)t — &) — (#'е^Г-зг>* —T)s
Разложение по степеням s дает значения коэффициентов при sft, которые, по формуле (10), равны соответствующим вероятностям: k или г
о,.(О- S +
п= 0
X [вМГ-Я> t _ rf+ь-2* [Fe^-m t _ *]-'-*+» [Ле«Г-Л) * _ srf.
(И)
Верхний предел суммирования равен k, еслн 0 < k < г, и равен г, если k ^ L Мы имеем
f 1 (ft = г),
Hrn/>ift(0={ 0 (k^i). ^
Математическое ожидание i равно
(16)
т. е. совпадает с результатом детерминистической теории; дисперсия г равна
or?(/) = (-^)e=1-+MO-ef(0-=
-1 |^Г§- 1 ^'Я) ‘-й (17>
2. ZF — &L. Решение аналогично:
ф1 ¦ - ¦ ‘
k или i
, « Г Ft-{Ft- l)s
р, »(')- S <-1>“ (п ) ( ' + *-Г 11 ) Х
га=0
X{Ft- \f{Ft -f !)-«-*+»; (19)
ег (0 =
J'
(20)
[ d4i ( ds2
J = i + i — 1). • (21)
Рассматриваемый процесс, детерминистический аспект которого выражен уравнением (II. 10) с <р<.г = 0, ^ и 32, = const, представляет собой стационарную цепь Маркова
{xt, 0<*<oo}. (III. 5)
Время (0 является непрерывным параметром; xt — случайная популяционная переменная — принадлежит дискретному счетному множеству состояний So, «Si ... • Переход из одного состояния (S,) в другое (Sj) описывается вероятностью перехода Pa{t). Это вероятность того, что система, находящаяся в состоянии 5г- при t — = 0, достигает состояния Sj в момент времени t. Знание pij{t) позволяет определить математическое ожидание и дисперсию для населенности любого состояния во время t, если заданы начальные условия для t = 0. Вероятности перехода для линейного процесса рождения и гибели, вычисленные в табл. 10, дают основу для дальнейшего обсуждения.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed