Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
if, if.
уравнение
Ж-S{w«-«(*-.>?+
qIq ^
+ E - Qj)(3i - O^-}- (6133)
Как видно из представления функции G, функция G при малых а > 0, s < 1 определяется исключительно вероятностями малых чисел частиц; вероятности больших чисел частиц начинают влиять на G лишь при а = 1 - е, е < 1. Соответственно, приближенные решения в этих двух интересных предельных случаях могут быть получены с помощью разложения по s (при малых а) и (1 — а) (при больших а). Нас интересует функция G при больших числах частиц, поэтому мы линеаризуем G по (1 - а):
&G
9G .Г dG г-v 8rG | .
Ще
Ei — 'Yij — C,j Bij.
Полагая
G(sb ..., s„; t) = exp j E(s»' ~ !)/<(*)}> (6.135)
^ t
получаем
— fi — 53 T'O'/j) ) (6.136)
т. e. fi(t) = Ni(t) — аналитическое решение уравнений Лотки—Вольтерры (6.121). Выражение (6.135) дает достаточно общее решение уравнений (6.134), так как суперпозиция решений (6.135) при различных начальных значениях /,(0) позволяет удовлетворить всем разумным начальным условиям (Gardiner, Chaturvedi, 1977). Выражению (6.135) соответствует мультипуассоновское распределение
P(<...X;0 = n ‘--U-----------------' (6l38>
«=1 »; •
Последнее выражение получается при использовании формулы Стирлинга
Р« ..., N„; t) = exp {-L(Mt), iV?)}. (6.139)
Таким образом, уменьшение L вплоть до минимума означает возрастание вероятности найти систему в стационарном состоянии. Со стохастической точки зрения
также ясно, почему функция L расходится на определенных частях границы положительного конуса: вероятность достичь состояние, лежащее внутри положительного конуса, из поглощающего состояния на границе равна нулю.
Помимо экологических и химических систем, при моделировании которых весьма часто используются близкие математические выражения, конкурентное поведение встречается и в системах совсем другой природы, например, в лазере, где наблюдается конкуренция мод (.Хакен, 1980), или в экономике, где конкуренция между производителями при капитализме играет главную роль — двигателя развития новых технологий и регулятора пропорциональности между различными областями производства. Маркс охарактеризовал эти действия как «стимулирующую и регулирущую функцию закона стоимости». Марксова теория стоимости позволяет установить аналогию между экономическими и химическими процессами отбора (Feistel, Ebeling, 1976; Ebeling, 1977; Feistel, 1977; Ebeling, 1978). Аналогичные математические выражения возникают при описании процессов общественного воспроизводства (Bruckner, 1978). Мы изложили в общих чертах основные идеи лишь первых из названных выше работ.
Множество производителей в условиях капитализма свободной конкуренции перенумеровано натуральными числами * = 1,2, 3,... . Производитель г за время dt производит количество товара dxi индивидуальной стоимостью dW* = dxi. Индивидуальная стоимость на количество товара есть мера индивидуально необходимого рабочего времени, то есть 1 /щ есть мера производительности труда производителя г. В процессе общественного обмена один и тот же товар обладает стоимостью dWi = р dxj, где р — единая рыночная цена, выражающая общественно признанное необходимое рабочее время. Так как стоимость возникает в процессе труда, для процессов обмена выполняется закон сохранения
= dWi- (614°)
Отсюда при скорости производства у, = товара мы получаем уравнение для цены:
При продаже товара i®, производитель получает в форме денег стоимость {ш) dxi — dWi\ на производство такого же количества товара он ассигнует переменный капитал dv,• (заработную плату) и постоянный капитал dc, (машины), в сумме дающие затраты к,-:
то, как нетрудно видеть, выжить могут только производители с щ < (ш). Но и те производители, которые оказываются в более благоприятных условиях по своим затратам, испытывают конкурентное давление, так как рыночная цена при положительной корреляции затраты—стоимость
постоянно падает. То, что процесс носит характер отбора, становится ясно, если исследовать долевое участие »-го производителя в рынке Pi = Vi/ У> (величины ъ и Ui считаются фиксированными):
Такое увеличение было подробно исследовано в разд. 6.2. Как было показано, в этой модели должен наблюдаться относительный успех производителей. Мы можем придать модели реалистичность, если учесть, что более высокая скорость производства у,-, как правило, приводит к падению удельных затрат
