Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
равен нулю, т. е. А*рт и совпадают на числовой оси.
«Зазор» Д.А* образует экологическую нишу для «худших» сортов Aj (Л*рит > Л*1”"), если минимум существования лежит в следующем интервале (Ebeling, Feistel, 1976):
Л‘рит < 4рит < л|°.
Переходим теперь к общему случаю п сортов. Ясно, что сосуществование, если оно вообще наступает, всегда затрагивает первые I сортов с самыми низкими минимумами существования. Число I неявно задано устанавливающейся стационарной концентрацией исходного вещества (Ebeling, Schelzer, 1980):
Л*рйт < Л(|> < 4*J7. (6.102)
Эта стационарная концентрация следует из уравнений (6.98), оказывается равной
А<’>
Рис. 6.17. Положение стационарной концентрации сырья Л(1> относительно минимума существования AKpm
А® =
ф+Т,
*=]
*?.
Jk_,
i=l
и определяет стационарные значения отдельных сортов:
О).
¦ С; —--------;------- при
k-i
X,-1* = 0 при i — I + I,..., п. Для анализа устойчивости мы вычисляем матрицу Якоби
h Ju.
0 ^ПВ ,
(6.103)
где
Jo =
1=]
ifciXj0; 0; ...; 0
' teX^0; 0; k2Aw -2k-.2Xil) -*?; 0
*|X,(,); 0; 0; M*1» - 2fc_,Xr - fc|
J«= {(kiA(1)-k{)% i,j = l + l, ...,n} (6.105)
— квадратные блок-матрицы; блок-матрица Ji. для анализа устойчивости несущественна. Для устойчивости должны выполняться условия
Rе(р) < 0 для всех решений характеристического
(6.106)
уравнения det(Jg — pi) = 0
и
- % < 0 при г = I + 1,..., п. (6.107)
В то время как условия (6.107) вследствие неравенств (6.102) выполняются
всегда, прямая проверка условий (6.106) довольно затруднительна. Однако характе-
ристический многочлен (6.106) может быть приведен к виду
(6108)
(Ebeling, Schmelzer, 1980).
Если записать р = А + ш и разложить уравнение (6.108) на уравнения для действительной и мнимой части, то непосредственно ясно, что в качестве решений
(О"
могут получаться только отрицательные Л, поскольку в силу неравенств X- ' >0 все коэффициенты многочлена положительны.
Резюмируя, мы можем сформулировать полученные результаты следующим образом. В качестве селекционной ценности г-го сорта выступают минимумы существования
ь'.
^Крит _
задающие концентрацию исходного вещества, которая требуется для выживания. Устанавливающаяся концентрация исходного вещества допускает одновременное существование I сортов с наименьшими значениями Л|фит, где I определяется значениями Ф и всех параметров fc<, k[ и fc_, I сортов. В каждом положительном подпространстве пространства концентраций Xh ..., Х„ находится самое большее одно стационарное состояние, которое всегда асимптотически устойчиво. В каждом m-мерном неотрицательном подпространстве находятся самое большее 2т — 1 стационарных состояний, из них ровно одно асимптотически устойчиво — то, которое соответствует наименьшей стационарной концентрации исходного вещества
Следовательно, величина 1 /А^ порождает статический принцип эволюции в смысле определения, приведенного в разд. 6.1. С помощью этого принципа решение проблемы сосуществования может быть описано следующим образом. Вычислим для всех 2” возможных подмножеств сортов суммы
*- = ?^Г. = <6л09>
1И|/V — I ( IV_|
X,:
HiAXj
ki+A
kiXi k-iXi, i—
А=Ф-
1 fi{AXi Yt ki+A
(6.111)
(6.110)
Эти подмножества сортов образуют устойчивое состояние сосуществования. Величина 1/А^ принимает на соответствующих суммах свое наибольшее значение:
1 : st
Ф + 52'
Разумеется, все эти утверждения легко могут быть модифицированы, если допустить к рассмотрению различные сорта с определенными равными значениями kj или однако имея в виду требование структурной устойчивости, можно предположить, что эти параметры для различных сортов никогда не бывают строго равными.
В заключение продемонстрируем возможность сосуществования на одном компьютерном примере (рис. 6.18). Как видно из графиков на рис. 6.18, с увеличением притока исходного вещества возрастает число сосуществующих сортов.
