Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
По определению, матрица Е может содержать отрицательные элементы самое большее на главной диагонали. Пусть е — наименьший элемент на главной диагонали. Тогда
Е' = Е-е1
— неотрицательная матрица. Если подставить решение (6.96) в уравнение (6.91), то это уравнение преобразуется в себя, т. е. матрицу Е можно считать неотрицательной.
В полной аналогии с рассмотренной выше матрицей к'-1 к или к мы можем теперь проанализировать свойства разложимости и спектральные свойства матрицы Е. Введение экологической картины для описания конкуренции между кластерами сортов в этой модели даже проще, чем при условии постоянного притока исходного вещества, поскольку отпадает связь через исходное вещество (Feistel, Ebeling, 1978).
Так как для стационарных состояний {Е) всегда принимает значение, равное собственному значению матрицы Е, а для устойчивых состояний — максимальному собственному значению, (Е) и в рассматриваемом случае порождает статический принцип эволюции:
\im(E) = Xmax. (6.97)
<->00
Однако для перекрестно каталитической системы не выполняется динамический и тем самым полный экстремальный принцип, в чем нетрудно убедиться на примере:
ч: ;)¦
Е = ( " Д), Х,(0)=С, Х2(0) = 0;
(E)t=o - 2, lim(Е) =
t-кзо 2
Убывание (Е) является следствием установления равновесия внутри кластеров, а отбор между кластерами, наоборот, всегда приводит к возрастанию (Е).
6.4. Сосуществование и гиперотбор
Уравнения реакций
А + Х< —> 2Xj,
рассмотренные в разделе о процессах простой конкуренции, с химической точки зрения представляют собой идеализацию, поскольку они не учитывают обратные
реакции. Поэтому сейчас мы переходим к вопросу о том, приводит ли учет обратной
к существенным последствиям для поведения системы в ходе отбора. Для этого мы рассмотрим формально кинетические уравнения
при условии постоянного притока исходного вещества. Вследствие сильной нелинейности от модели (6.98) следует ожидать более сложного поведения, чем от рассмотренных ранее моделей. Прежде чем входить в математические детали, проанализируем несколько более подробно несколько частных случаев.
В качестве первого рассмотрим случай, когда концентрация исходного вещества поддерживается постоянной с помощью подходящего управления параметром Ф. В этих условиях уравнения для Xj при > 0 имеют вид
Уравнение (6.99) есть не что иное, как логистический закон роста, который при малых Xi происходит экспоненциально, а при больших X,- выходит на насыщение (X; асимптотически стремится к С,- — «емкости» сорта X,).
Сказанное предполагает, что емкость С,- положительна — в противном случае X, вымирает. Из соотношения (6.100) следует:
т. е. для каждого сорта существует определенная критическая концентрация исходного вещества А^"", своего рода «минимум существования», величина которого по сравнению с истинным притоком исходного вещества А определяет существование или вымирание сорта ». Представляется разумным упорядочить сорта в порядке возрастания их минимумов существования:
Соответственно, мы можем расположить упорядоченные сорта на числовой оси (рис. 6.16).
Если текущее значение подвода исходного вещества обозначить через А (см. рис. 6.16), то ясно, что все сорта слева от А выживают, а все сорта справа от А вымирают. Таким же остается поведение и в том случае, если мы не будем задавать значение А, а оно будет определяться самими сортами Х{; это означает, что если некоторый сорт Х( выживает, то выживают также все сорта Xi с г < I.
реакции
А = Ф~22 kiAXi + k^iXf,
(6.98)
i i
Х{ = kiAXi - k-iX? - k-Xt
Xi = k-i(Ci - Xi)Xi,
(6.99)
где
(6.100)
Выясним теперь, где именно стабилизируется концентрация исходного вещества, сначала — при наличии одного сорта X;. Нетрудно определить стационарное значение
(1) _ Фк-j + k?
ьц ’
Текущее значение А
1 lit II г
дКрИТ ^КрНТдКрИТ А? "Т А?*" А
Выживают-- «--- Вымирают----
у(0_________^0)______________
* * Jk'
г <
ф
(6.101)
Рис. в. 16. Упорядочение сортов по их минимуму существования на числовой оси
|0>
А.Д-
А
и доказать, что оно устойчиво. 1де расположено стационарное значение Л) относительно 4?ЖГ? Разность этих значений составляет величину
ДЛ<‘> = - АГ = щ = ^С<¦> =
т. е. следствие логистического роста (т. е. из-за обратной реакции) сорта X,- образуется резерв исходного вещества АЛ, пропорциональный стационарной концентрации X,-^ (рис. 6.17). В случае простой конкуренции без учета обратной реакции (?_,- — 0) этот резерв всегда
