Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы можем перейти к изучению наиболее общего случая разложимой матрицы к. В качестве примера выберем матрицу
к =
г 0 0 *13 0 0 0 0 •
*21 0 0 0 0 0 0
0 кух 0 0 0 0 0
0 0 *43 *44 0 0 0
*51 0 0 0 0 *56 0
0 0 0 0 *65 0 0
0 0 0 *73 0 *76 *77 -
Производящий граф: 2 3 •
Граф разложения:
7 - > ¦
< __---^
тО
(5.6) (7)
Рис. 6.13. Граф и уплотненный граф (разложения) разложимой системы
Преобразуем уравнения (6.83) в соответствии с экологической картиной к виду
PU ~ "5~ У , &т — У \(kj)mpil ~ Pii(*« ~ (* )|),
1 т yes,
* = А Е (6 88)
та jeSi
А — Ф — А У ' ^ ^ ^ ](kj)mSm¦
I т j€Sj
Это представление обладает преимуществом только тогда, когда взаимодействие между кластерами не сводится к разнообразным взаимодействиям между отдельными сортами, образующими кластеры, а обусловлено действием одного кластера как целого на другой. В этом случае внутренняя структура каждого кластера не зависит от других кластеров, поэтому в уравнениях (6.88) все слагаемые с тф1 обращаются в нуль, если внутренние структуры кластеров т и I стационарны, то есть являются собственными векторами соответствующих подматриц (мы по-прежнему предполагаем, что k'i « {&')( при i ? Si). Это позволяет нам проделывать с уравнениями (6.88) любые операции, которые мы проделали с уравнениями (6.84), и подставить вместо величин рц в первое из уравнений (6.84) их стационарные значения. В результате мы получаем систему
S, = aY, kLSm ~ k',S,,
(6.89)
обладающую такой же структурой, как исходная система (6.72), только {**т} — теперь всегда элементарная разложимая матрица, поскольку соответствует разложимому графу. Случай элементарной разложимой матрицы уже рассмотрен нами выше. Мы знаем, что при < —> оо в системе остается кластер сортов з, обладающий наибольшим собственным значением 1/А = к*„/к'„ и все кластеры, следующие за ним в графах, возникающих при разложении исходного графа. Этот результат остается
Граф:
в силе и без приведенных выше ограничений на взаимодействие между кластерами. К доказательству утверждения в общем случае лучше подходить, отправляясь от задачи на собственные значения (6.7S) и (6.76).
В качестве примера мы рассмотрим систему реакций с производящим графом, изображенным на рис. 6.14. Численные значения коэффициентов матрицы к выбраны такими же, как в примере, соответствующем рис. 6.10. Соответственно, мы заменяем кы = 0 на Лез = 1/2. Значения Ф и к* мы получаем из того же примера. Воздержимся от подробного обсуждения результатов, поскольку теоретическое объяснение следует из приведенных выше соображений (рис. 6.15).
Рассмотрим теперь модель с неизменной организацией в целом. Для этого обобщим уравнения (6.21) на случай перекрестно каталитических процессов:
Л~Д
1 2 45
Рис. 6.14. Два
связанных каталитических кольца
Xi = (6.90)
где
{E)=-'?EijXj.
ij
В матричных обозначениях уравнения
(6.90) записываются так:
Х = (Е-(Я)1>Х, (Е) = ^1ТЕХ.
(6.91)
Рис. 6.15. Численное исследование реакционной системы с двумя связанными каталитическими соединениями
Нетрудно видеть, что решение уравнения X = 0 приводит к задаче на собственные значения для матрицы Е с собственным вектором X и собственным значением (Е). Однако поведение системы может быть исследовано и в явном виде с помощью аналитического решения, которое мы находим, полагая
X = Zexp
t
{-/да*}
(6.92)
(Thompson, McBride, 1974; Jones et al., 1976; Jones, 1977; Ebeling, Feistel, 1976, 1977; Feistel, Ebeling, 1976, 1978).
Подставляя выражение (6.92) в уравнение (6.91), получаем уравнение
Z — EZ,
допускающее решение
Z(t) = Т exp {Р*}Т“1 Z(0). (6.93)
Здесь Т — модальная матрица (матрица собственных векторов) матрицы Е, а Р — диагональная матрица собственных значений матрицы Е:
ЕТ = ТР, Р={р,й|}.
(6.94)
( [ ITEZ f ITEZ
Jwdt = frxdt = J-ndt =
0 0 0
4 т-
= / jr| it = ln(ITZ) - In C, (6.95)
0
получаем из формулы (6.92) решение для Х(?):
_ Т ехр {иуг’Хф)
* * FT exp {Pf}T-' Х(0)' ^ *
При ( -* оо выживают все сорта, у которых собственный вектор матрицы Е, соответствующий собственному вектору Лтах с наибольшей действительной частью, содержит ненулевые компоненты.
