Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
i i
если матрица k вполне разложима. Для упрощения предположим, что скорости распада k'i сортов, принадлежащих одному кластеру, различаются несущественно, то есть
К « {к'),
для всех t из кластера I.
Таким образом, «уравнение внутренней структуры» (6.83) сводится к уравнению
Ра = ^Г(*»)| ~ • (6.84)
У
Важно, что уравнение (6.84) не зависит от I и только через А зависит от отбора вида 5|. В частности, А в уравнении (6.84) влияет не на положение, а лишь на скорость установления внутреннего равновесия.
Теорема Тихонова утверждает, что решения дифференциального уравнения сходятся друг к другу независимо от того, принята или отвергнута гипотеза о псевдоста-ционарном состоянии, если постоянные времени уравнений, рассматриваемых как стационарные, достаточно велики по сравнению с постоянными времени остальных уравнений. Предположим, например, что А и Si очень велики, но одного порядка. Тогда рц стремится к стационарному состоянию гораздо быстрее, чем Si. Это означает, что мы можем изучать отбор кластеров, оставаясь в рамках кластерного приближения и рассматривая структуру кластеров как равновесную.
Из уравнения (6.84) с учетом равенства рц = 0 следует, что распределение сортов в кластере I удовлетворяет уравнению на собственные значения
kijPji = kfpit, ^ (6.85)
i i Следовательно, рц есть собственный вектор подматрицы матрицы к, соответствующей кластеру I. Разумеется, все компоненты р в кластере положительны, так как, по определению, соответствующая подматрица матрицы к неразложима. Собственный вектор нормирован на 1. Собственное значение к\ положительно и однозначно определено по теореме Фробениуса.
Уравнения принимают теперь следующий вид:
S, = (к;А - ki)Sh
А = Ф- Aj2kiS,, *6'86)
I
где мы положили к! = (к')/. Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями
(6.12), которые были рассмотрены в разделе о простой конкуренции. Из этого мы
может заключить, что «экологическая картина» допускает аналогичное рассмотрение кластеров сортов (видов) и автокаталитических веществ.
Проиллюстрируем изложенный выше метод на численном решении системы дифференциальных уравнений (6.72). Выберем Ф = 2, в качестве к' — единичную матрицу и полностью разложимую матрицу
Граф:
в качестве к
к =
0 3/2 0 0 0 0
0 0 1/2 0 0 0
4/3 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1/8
0 0 0 1 0 0
А
12 4 5
Рис. 6.10. Два
несвязанных каталитических кольца
(см. рис. 6.10).
Имеются два вида: 5] = Х1+Х2+Х3 и S2 = Х4 + Х5+Хб- Задача об определении внутренней структуры (6.84) приводит к следующему результату:
X, : Х2: Хъ = 3 : 2 : 4, Х4 : Х5: Х6 = 2 : 1 : 4;
, ,/4ТТ ,ГГ 1
= V 3 2 2 ’ *!=VV = 2'
Рис. 6.11. Отбор между двумя каталитическими соединениями
В ходе отбора цикл S2 с селекционной ценностью 1/2 .оказывается побежденным циклом S| с селекционной ценностью 1; при t —> оо получаем:
Ф 1
S\ — -jp- — 2, 52 — 0, А — — — 1.
Теоретические результаты подтверждаются результатами компьютерных вычислений (рис. 6.11). Следует иметь в виду, что уже при t = 4 внутренняя структура становится стационарной, в то время как отбор длится до t № 10.
Обратимся теперь к следующему частному случаю разложимой матрицы — элементарной разложимой матрице. В качестве примера выберем матрицу
к =
(см. рис. 6.12).
В этом случае граф не обладает другими циклами, кроме петель, и сорта можно всегда перенумеровать так, что возникает нижняя треугольная матрица к:
'} 0- Рис. в. 12. Каталитичес-
кий каскад (элементарный разложимый)
Сорта с ка > 0 автокаталитические. Из уравнения (6.76) для концентрации исходного вещества следует возможное стационарное значение
1 =ки
А *'•’
*1. 0 0 0
*21 0 0 0
0 *32 *33 0
*41 0 0 0
Производящий граф для к: 2
‘*м 0 0 0 '
*21 *22 0 0
к = *31 *32 *33 • 0
,*п1 *п2 *пЗ • *пп .
(6.87)
так как собственные значения треугольной матрицы совпадают с элементами, стоящими на главной диагонали. Анализ соответствующих собственных векторов несложен, но громоздок. Поэтому мы ограничимся лишь тем, что приведем результаты: в конкурентной борьбе выживает авто каталитический сорт з с наибольшим значением к3!/к'3. Вместе с ним выживают все сорта, следующие за сортом з в производящих графах, причем независимо от того, автокаталитические сорта или нет. Все другие сорта вымирают.
