Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Эбилинг В. -> "Физика процессов эволюции" -> 83

Физика процессов эволюции - Эбилинг В.

Эбилинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции — М.: УРСС, 2001. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikaprocessovevolucii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 176 >> Следующая

(6.77)
где п — длина цикла, поэтому максимальное собственное значение равно среднему геометрическому из перекрестно-каталитических коэффициентов (Eigen, 1973; Feb-
tel, 1976). Матрица к в математике называется импримитивной, или циклической, индекса п.
Компоненты соответствующих собственных векторов матрицы к удовлетворяют уравнениям
рХ{ = kijXj, = ~kij) (6.78)
где * и j — соседние индексы в цикле.
Таким образом, система с неразложимой матрицей к не обнаруживает селективного поведения в том смысле, что отдельные сорта не исчезают из системы.
Перейдем теперь к рассмотрению полностью разложимой матрицы к. Примером ее может служить следующая матрица:
к =
0 0 0 *14 0 0 0 0 0 0 0 0 '
*21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 *32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 *43 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 *55 *56 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 *65 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 *78 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 *8,12
0 0 0 0 0 0 0 *98 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 *10,9 0 *10,11 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 *11,12
0 0 0 0 0 0 *12,7 0 0 *12,10 0 0
Производящий граф для к:
11
Рис. 6.9. Полностью разложимая каталитическая система
(см. рис. 6.9).
Производящий граф состоит из нескольких неразложимых компонент. Сорта, принадлежащие одной такой компоненте, образуют один кластер; анализируя неразложимые матрицы, мы заключаем, что сорта, входящие в один кластер, могут существовать или исчезать только все вместе.
Максимальному собственному значению полностью разложимой матрицы соответствует положительный собственный вектор, если максимальные собственные значения кластеров равны; в противном- случае для каждого кластера существует собственный вектор, компоненты которого для индексов кластера положительны, а для всех остальных индексов равны нулю. Это означает, что кластеры сортов с различными максимальными собственными значениями не могут сосуществовать стационарно.
Если существует п кластеров, то из всех п возможных стационарных состояний устойчивы те, которые соответствуют наибольшему собственному значению 1/А по формуле (6.76). Ситуация полностью аналогична той, которая возникает в случае конкуренции отдельных автокаталитических сортов; единственное отличие состоит в том, что теперь в качестве наименьших единиц выступают кластеры. И снова стационарная обратная концентрация исходного вещества оказывается величиной, для которой выполняется статический принцип эволюции, а ее зависимость от параметров для различных стационарных состояний неявно задается положительными
решениями характеристического уравнения
k'“'k - = 0, (6.79)
где I — единичная матрица.
Соответствие между отдельными автокаталитическими сортами и кластерами не совсем случайно, оно выражает возможность образования иерархических структур. В статистической физике предметом изучения являются элементарные частицы, но соответствующие уравнения показывают, что так называемые связанные состояния частиц можно рассматривать как элементарные частицы (Ebeling, 1974; Эбелинг и др., 1979). Рассмотрим пример: водородная плазма состоит только из электронов и протонов, но возникающие при более низких температурах связанные состояния Н и также можно рассматривать как самостоятельные частицы с внутренними степенями свободы. В статистической физике в этом случае говорят
о переходе от «физической картины» к «химической картине».
Аналогичным образом обстоит дело и в случае конкуренции кластеров сортов. Если считать, что сорта X,- соответствуют молекулам, то кластеры можно рассматривать как комплексы функций молекул, т. е. как простейшие «организмы». Мы попытаемся поэтому совершить переход к «экологической картине», в которой между собой взаимодействуют уже не комплексы молекул, а новые виды с внутренними степенями свободы (Feistel, Ebeling, 1978, 1989).
Запишем в качестве «вида» I
S,= Х„ (6.80)
кластер I
а в качестве его «внутренней структуры» введем величину
Xi.
—, если t принадлежит кластеру /, (6 81)
0 в противном случае,
так что 53 Ра = 1 ДЛЯ всех видов I. Определим теперь среднее по кластеру:
i
(ki)i = Y^kijPji и (к'), = ^2 fan. (6.82)
j i
Уравнения (6.72) переходят в иерархическую систему уравнений
Ра = лГ(*ц}| - y~^(A:j)ip,ij - (k'i - (k'}i)pa,
L i
Si= [Д>*>| Л-<*'>,]$,, (6.83)
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed