Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
Определим теперь P(N2, t) как вероятность того, что N2 фабрик используют новую
технологию, a N\ фабрик — старую. Следуя стандартным методам теории дис-
кретных марковских процессов, которые были изложены в разд. 5.2, мы приходим
5.6. Самовоспроизводство е сложных системах 139
к основному кинетическому уравнению:
E2i + ^(N2-l)(N-N2+l) 1р
Еп + -Т7(N7 + l)(N -N2- 1) N
P(N2-l,t) +
+ Е12 + Tir(N7 + 1 )(N -N2- 1) P(N2 + l,t)~
— ?iJi2 + Ezi + — (-B| + Et,)N2(N — JV2)j P(N2, t). (5-95)
Четыре члена в правой части уравнения (5.95) соответствуют двум «прибыльным процессам» (N2 - 1) -> N2 и (N2 + 1) —> ЛГ2 и двум «убыточным процессам» N2 —*¦ (N2 — 1) и N2 —* (N2 + 1). Определим среднее значение
00
(N2(t)) = 22*2p(N2,t). (5.96)
n2=о
Умножая уравнение (5.95) на N2 и суммируя, получаем
Jt(N2(0) = - El)(N2(N - N2)) + (Bn - Еп). (5.97)
Если воспользоваться приближением (N2) ~ (N2)2 и ввести обозначения
/»<?>, « = «,-*), (5.98)
то мы снова получим исходное детерминистическое уравнение
f = af(\-f) + p. (5.99)
Стационарное решение основного кинетического уравнения (5.95) можно привести в явном виде. Запишем сначала
W~(N2)P°(N2) = ^+(^2 - 1)Р°(ЛГ2 - 1). (5.100)
Интегрируя, получаем:
Л = r№rwti)., ""(y-yw (5101)
' ' + 2)... W~(H) ' '' '
Если в детерминистической картине через определенное время всегда устанавливается состояние / = 1, т. е. N2 — N, то в стохастической картине мы приходим к распределению вероятности с P°(N2) ф 0 при N2 Ф N, т. е. между старой и новой технологией (взятых в определенном соотношении) устанавливается сосуществование при условии, что величина (Ег — Е\) принимает не слишком большое значение.
Интересный предельный случай возникает в том случае, если вероятности спонтанных переходов от старой технологии к новой и от новой технологии к старой равны нулю, т. е.
j®2| = Е\2 = 0. (5.102)
В этом случае состояния N2 = 0 и N2 — N являются поглощающими состояниями, которые система не может миновать, и все распределения'
P°(N2) = <Т\6ощ + ff2tfjvjy2, ff| + 02 = 1, (5.103)
— стационарные решения уравнения (5.95), где (Г; — произвольное действительное число, заключенное в интервале от нуля до единицы. Таким образом, существует
не однозначное стационарное распределение, а множество стационарных распределений. Утрата однозначности связана с тем, что поглощательные состояния N? = 0 иЛГ2 = ЛГ становятся недостижимыми из остальных состояний. Какие стационарные режимы системы реализуются, зависит от начальных условий. Предположим, что начальное распределение имеет вид:
— искомое распределение. Найдем пока не известное действительное число <т2. Для этого воспользуемся тем, что величина
Доказать соотношение (5.107) совсем нетрудно: для этого нужно лишь умножить уравнение (5.95) на (E\/EdNl и просуммировать по всем N2. Из равенства (5.108) с учетом соотношений (5.104)-(5.106) получаем
В предельном случае при очень большом числе N (N » 1) и JV® «С N находим:
Эта формула соответствует соотношению (5.49), выведенному другим способом. Величина <т2 есть вероятность того, что система с начальным состоянием N2 - ЛГ2° переходит при t —> оо в состояние N2 — N, а <Т\ = 1 — а2 — вероятность того, что система переходит в состояние N2 = 0. В рамках проблемы введения новой технологии формулы (5.109) и (5.110) допускают следующую интерпретацию.
Если новая технология первоначально вводится на очень небольшом числе фабрик N2, то, как следует из формулы (5.110), она заведомо обречена на замещение старой технологией при условии, что скорость роста Е2 новой технологии меньше скорости роста Е\ старой технологии. Если же скорость роста Ег новой технологии существенно превосходит скорость роста Е\ старой технологии, то, как следует из той же формулы (5.110), новая технология с большей вероятностью
Р(N2, 0) — Sfyifo,
(5.104)
и пусть
P(N2, t —> оо) = a I (SqjVj + GltilfN], <Г\ + 02 = 1)
(5.105)
(5.106)
при Е\2 - Е2\ = 0 является инвариантом уравнения (5.95), т. е.
I(t) = const,
Z(0)=Z(oo).
(5.107)
(5.108)
(5.109)
при Ег<Еи при Ег > Е\.
(5.110)
\
