Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
dP?(x, и)
dx
= 0,
d2Pa(x, и) dx2
— 0.
(5.87)
В случае дискретных распределений того типа, который мы здесь рассматриваем, условие (5.87) заменяется условием
P°(N,u)
Введем безразмерные переменные
: P°(N - 1, «).
(5.88)
V, /3 =
k2k[ к2 А2’
7 =
k'2(k[)2F к* А3
Детерминистическое множество бифуркаций имеет вид острия (точки возврата) с двумя ветвями:
'H-W(M)1 <s-8,)
и вершиной в точке -- 1/3, 7 =
1/27.
Множество катастроф стохастического распределения переходит при и —> оо в детерминистическое острие.
На рис. 5.32 помимо этой кривой показаны также множества катастроф при v = 100 и v = 10. Бимодальные распределения соответствуют значениям параметров внутри острия, а мономодальные распределения — значениям параметров, лежащих вне острия. С уменьшением
объема V влияние стохастических эффектов возрастает. Поразительно, что флуктуации оказывают весьма сильное влияние на область бистабильности.
Рис. 5.32. Изменение бифуркационной картины в зависимости от величины системы
Примером могут служить хотя бы кривые, представленные на рис. 5.20: набор параметров р — 0,2477 и у = 0,01624, соответствующих заданным значениям а, Ь и с, определяет точку, лежащую внутри детерминистического острия. При уменьшении V острие смешается влево, и наступает момент, когда представляющая точка оказывается снаружи острия; это соответствует исчезновению правого максимума на рис. 5.31 при V < 25. Другим примером может служить система с параметрами /3 = 0,13 и 7 = 0,02, которая в рамках детерминистической теории моностабиль-на. При уменьшении объема до V = 10 под действием начинающихся сильных флуктуаций возникает бистабильность. Таким образом, основной результат этих исследований состоит в том, что флуктуации числа частиц могут приводить даже к качественным изменениям макроскопического поведения. Бистабильность может быть и порождена, и уничтожена флуктуациями.
Рассмотрим теперь релаксацию распределения вероятности к стационарному равновесию и воспользуемся для этого методами стохастической динамики и эргодической теоремой (Ebeling, Schimansky-Geier, 1979). Мы предполагаем, что эргодическая теорема выполняется в данном случае, поскольку все состояния N(t) = {0,1,2,...} связаны между собой возможными переходами в обоих направлениях. В случае эргодической системы исследование достаточно длинных траекторий N(t) с произвольным начальным состоянием iV(0) дает полную информацию относительно вероятности P°(N), возникающей как предельное значение относительной частоты попадания в точку N. Стохастическое моделирование траекторий помимо распределения вероятностей позволяет получить и другую важную информацию относительно стохастического процесса, например, корреляционную функцию. Методы стохастической динамики были применены Файстелем (Feistel, 1977, 1979),
Щ)
100
75
А
50
500
1000
1500 t
Таблица 5.1. Параметры стохастического моделирования реакций Шлёгля
Система I Система II
V 100 100
а 1,550 0,34114
Ь 0,595 0,02197
с 0,03903 0,001
Устойчивое состояние Я, = 13; Nj=99 ,ЛГ, =1; N} = 24
Неустойчивое состояние N7 = 44 &
II
О
Начальное состояние а) N(0) = 5 6) N(0)= 110 а) АГ(0) = 0 6) ЛГ(0) = 30
Среднее время первой ре
лаксации а) 3,21 б) 2,52 а) 36,2 б) 13,3
Среднее время перехода
в неустойчивое состояние а) 83,1 6)166 а) 1350 б) 600
Среднее время туннелиро
вания в другое устойчивое
состояние а) 166 б) 433 а) 2270 6) 2030
Файстелем и Эбелингом (Feistel, Ebeling, 1978), а также Николисом и Малеком-Мансуром (Nicolis, Malek-Mansour, 1978) к колебательным химическим реакциям, а Эбелингом и Шиманским-Гайером (Ebeling, Schimansky-Geier, 1979) — к бистабильным химическим реакциям. Мы следуем здесь последней из упомянутых работ. На рис. 5.33, 5.34 и 5.35 показаны три примера индивидуальных траекторий системы Шлёгля. Чтобы не перегружать графики, мы наносили на них не результаты расчетов для отдельной реализации, а средние по нескольким сотням реализаций реакции. Траектории флуктуируют относительно одного устойчивого состояния и за большие временные интервалы выходят на другое устойчивое состояние. В табл. 5.1 приведены некоторые характеристики двух рассмотренных систем, а именно параметры V, а, Ь, с устойчивого и неустойчивого состояний, начальное состояние и среднее время релаксации до достижения соседнего устойчивого состояния, среднее время до первого выхода на неустойчивое состояние и среднее время туннелирования в другое устойчивое состояние. Система I выбрана с таким расчетом, что оба максимума вероятности P°(N) имеют одинаковую высоту, а в системе II оба максимума имеют одинаковую площадь. Следует отметить, что средние времена туннелирования зависят от направления и совпадают только для максимумов с одинаковой площадью.
