Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
0 < у < 1/27 всегда найдется такая область значений у, для которой существуют три стационарных состояния
х(,) < х(2) < х(3),
состояния X*1* и X® устойчивы, а состояние Х^ неустойчиво. Зависящее от времени решение уравнения (5.64) можно найти с помощью трех корней. Интегрируя уравнение (5.64), получаем
Х(«)
Рис. 5.20. Стационарные состояния X в зависимости от значений управляющих параметров /} и 7 модели Шлёгля
-I
dx
х<о)
(X - ХО)(Х - Х<2>)(Х - Х<3>)'
(5.66)
Как показывает анализ выражения (5.66), неустойчивое стационарное решение образует сепаратрису в фазовом пространстве (рис. 5.21), в то время как устойчивые стационарные решения и Х^ являются аттракторами для траекторий. Чтобы перевести систему из одного устойчивого состояния в другое, необходимо отклониться от сепаратрисы Х^2\ Спонтанные переходы в рамках детерминистической теории исключаются.
Рис. 5.21. Временная зависимость решений в бистабильной модели Шлёгля
Рис. 5.22. Гиперболический рост приводит за конечные времена к вымиранию или к расходимости (поведение типа «всё или ничего»)
Рассмотрим теперь обший случай: для того, чтобы из молекулы исходного вещества А образовалась одна молекула X, должны сойтись вместе v молекул вещества X (v > 1 — произвольное целое число):
A + vX—*(v+ 1)X, X —> F. (5.67)
Для простоты мы прнебрегаем обратными реакциями. В рамках формальной кинетики получается кинетическое уравнение
X = кАХ" - к'Х. (5.68)
При постоянном запасе исходного вещества (А — const) и v > 1 (случай v = 1 мы рассмотрели в разд. 5.1) существуют два стационарных состояния
„ I/O-")
х{2)
Х(|) =0,
(5.69)
Как видно из рис. 5.22, Х^ представляет собой критическую концентрацию, ниже которой преобладает скорость распада, а выше — скорость синтеза. То, что проистекает из этого для временной зависимости X(t), мы увидим, проинтегрировав уравнение (5.68). Так как эта зависимость бернуллиевского типа, мы, производя замену переменной
*(*)=[*(*)]'"", (5.70)
легко приходим к цели:
т
Г<2>
i +
[О
(5.71)
^(2)ч1/-1 п(1 -1/)/2
—J -ljxexp{(„-l)fcY}J •
Поведение некоторых из решений (5.71) представлено на рис. 5.22; X(t) = Х^ оказывается неустойчивым стационарным состоянием. Оно соответствует состоянию X® в реакции Шлёгля. Если начальная концентрация лежит ниже Х<2), то
в конце концов происходит распад всех молекул. Если же начальная концентрация превышает Х<2> , то за время
v-\ Г /х(2)у_|
(5.72)
зависящее от начальной концентрации Х(0), концентрация становится бесконечно большой. Такого рода режимы принято называть режимами типа «все или ничего» (Schuster, 1972; Эйген, Шустер, 1982); они соответствуют «бесповоротному» выбору одной из двух возможностей и представляют особый интерес при анализе процессов конкуренции и отбора. Расходимость формально является следствием пренебрежения обратными реакциями, т. е. вырождается в бесконечность. Расходимость концентраций, разумеется, является нереалистической чертой нашей модели, в природе ничего подобного не наблюдается. Но эта трудность легко исключается, если мы учтем в теории обратные реакции.
Еще одна возможность состоит в том, чтобы связать концентрации двух различных веществ при условии постоянства их суммарной концентрации X] + Х2. Для этого вместо постоянной скорости распада следует ввести управляемую скорость разрежения:
Х{ = к,АХ" - Ф({) Х„ * = 1,2. (5.73)
Из условия Х| + Хг — С получаем:
(5.74)
Рассмотрим теперь решения уравнений (5.73). После некоторых вычислений находим три стационарных состояния:
г(1)
Х,(2) = С
xf11 = с
¦¦ о, х<° = с,
1 +
1 +
(I)
09
!/(</-!)
-1
х.(3) = с, у(3)
0.
(5.75)
(5.76)
(5.77)
1 ~ Л2
Здесь С = Х\ + X2. При анализе устойчивости могут представиться три качественно различные ситуации (мы предполагаем, что > &2).
Рис. 5.23. Стабилизация при гиперболическом росте концентраций двух компонент и постоянной суммарной концентрации
При v < 1 решения (5.75) и (5.77) соответствуют неустойчивым состояниям, а решение (5.76) — устойчивому состоянию. При v > 1 ситуация прямо противоположна. В промежуточном случае v = 1 решения (5.76) и (5.77) совпадают, и, как уже известно, решение (5.75) неустойчиво, а решение (5.77) устойчиво. На рис. 5.24 показано, как зависят положение и устойчивость стационарных состояний от V.
В области автокатализа высшего порядка, т. е. при v > 1, мы обнаруживаем тем самым бистабильное поведение. Состояние
X
I
ti
II *
неустойчивое устойчивое
неустойчивое
неустойчив «устойчивое
!
0 12 v
Рис. 5.24. Бифуркационная диаграмма для двух конкурирующих компонент в зависимости от порядка v закона роста
