Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Эбилинг В. -> "Физика процессов эволюции" -> 61

Физика процессов эволюции - Эбилинг В.

Эбилинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции — М.: УРСС, 2001. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikaprocessovevolucii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 176 >> Следующая

Максимум этого распределения расположен при N = 0, а стандартное отклонение составляет величину
Максимум этого распределения лежит вблизи N0, а стандартное отклонение равно
Стандартное отклонение достигает своего наибольшего значения в критической точке А = k2/k\ и стремится к нулю при А —> 0 и А —> оо. На рис. 5.7 пунктиром схематически показано стационарное распределение вероятности в окрестности детерминистической кривой.
Рассмотрим теперь другой предельный случай, в котором удается найти даже зависящее от времени решение. Предположим, что при t = 0 в системе имеется небольшое число М молекул сорта X, т. е.
Предположим далее, что обеими обратными реакциями можно пренебречь. Как следует из соотношений (5.26) и (5.27), для этого должны выполняться условия:
k'2FV<kiAM,
(5.36)
(5.37)
наблюдается (приближенно) геометрическое распределение
(5.38)
(5.39)
Выше порогового значения, т. е. при
(5.40)
устанавливается (приближенно) распределение Пуассона
(5.41)
(5.42)
при N = М, при N ф М.
(5.43)
Основное уравнение (5.22) преобразуется при этом к виду
^P(N, t) = kiA(N - 1 )P(N - 1, t) +
+ k2(N + 1 )P(N +1,0- (*i^ + k2)NP(N, t). (5.45)
Решение этого уравнения с начальным условием (5.42) имеет следующий вид (Bartholomay, 1958, 1959; Eigen, 1973):
N или М / \ / \
p(N,t)= х; (-1 r(^)(M+/_-nn-1)(^r“fcf-’*x
х [exp {(fc|4 — fc2)i} — l]tax x [fci^exp {(&|.A - ki)t} — ^"^^х
x [&2 exp {(Л| A - k2)t} - *i A]". (5 46)
Верхний предел суммирования равен N при 0 < N < М и М при М < N. Как показывает распределение (5.46), начальное число частиц М сорта X со временем может как возрастать, так и убывать. Если в детерминистической картине «приговор» вполне однозначен: «Рост при > к2 и распад при А:( < к2», то
в стохастической картине вывод носит гораздо более сложный вероятностный характер. В качестве особенно интересного случая рассмотрим вероятность полного исчезновения («вымирания») N = 0 сорта X по истечении времени t. Из формулы (5.46) следует, что
P(ot)=f ,.gPl(*_!*-W71_______________________Г (547)
\ (к{А/к2) exp {(fci-4 — k2)t\ — 1 / ‘ ^
Для вероятности того, что исчезновение молекул сорта X вообще происходит (f -¦* оо), мы получаем
limP(0,0 = ( Ом) ПРИ klA>k2' (5.48)
<_>0° I 1 при &1-А < к2.
В то время как при к\А < к2 сорт X заведомо исчезает, при к\А > к2 имеется
некоторая вероятность того, что молекулы сорта X исчезнут. Соответственно, вероятность выживания этих молекул определяется величиной
а = 1 - lim Р(0, t) = { 1 ~ (м) при к'А > къ (5.49)
<_>0° I 0 при к\А < к2.
Следовательно, молекулы сорта X заведомо «вымирают» при к\А < к2, но при к{А> к2 «выживают» лишь с вероятностью, которая меньше единицы.
5.3. Самовоспроизводящиеся автоматы
Теория клеточных автоматов берет начало от лекции «Общая и логическая теория автоматов», прочитанной Джоном фон Нейманом в 1948 г. Ныне теория клеточных автоматов принадлежит к числу наиболее быстро развивающихся областей математики и естественных наук (Wolfram, 1984). Методы этой теории позволили
существенно продвинуться в анализе весьма сложных процессов и гидродинамических задач, казавшихся до того неразрешимыми. Особенно важное и интересное для' нас направление теории автоматов было развито фон Нейманом (von Neumann, 1966). В своей монографии «Теория самовоспроизводящихся автоматов» фон Нейман предпринял попытку перенести на абстрактные автоматы некоторые фундаментальные свойства биологических систем. Придуманный фон Нейманом автомат весьма сложен. Поэтому мы начнем изложение теории клеточных автоматов с существенно более простого автомата, названного английским математиком Конуэем игрой «Жизнь». Игра Конуэя ныне входит в пакеты программ, придаваемых многим компьютерам, разворачивается на разделенной на клетки доске, напоминающей шахматную доску (рис. 5.9). Клетки нумеруются числами
г = 1,2,.... п,
,•-19 (550>
j = 1,2,..., т.
Рис. 5.9. Характерные конфигурации в игре «Жизнь» Конуэя: (а) вымирающая популяция; (б) переход в стационарную популяцию; (в) осциллирующая популяция; (г) самовоспро-изводящаяся дрейфующая популяция
Каждая клетка может находиться в состоянии 0 или 1. Развитие во времени начального (при t = 0) распределения занятых клеток происходит по следующим правилам.
1. Выживание. Занятая клетка выживает в следующем поколении, если заняты две или три соседние клетки.
2. Вымирание. Занятая клетка (z — 1) превращается в свободную (z = 0), если число занятых соседних клеток больше трех или меньше двух.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed