Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Эбилинг В. -> "Физика процессов эволюции" -> 59

Физика процессов эволюции - Эбилинг В.

Эбилинг В., Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции — М.: УРСС, 2001. — 342 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikaprocessovevolucii2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 176 >> Следующая

Дифференциальное уравнение (5.7) и его решение (5.-12) были получены еще в прошлом веке Ферхюль-стом и Перлом, поэтому зависимость (5.12) принято называть законом роста Ферхюльста— Перла.
На рис. 5.4 показано, как решение (5.12) зависит от времени. Мы видим, что при t —» оо плотность стремится к конечному предельному значению (R > 0) или к нулю (R < 0). Значение R = 0 соответствует бифуркации решения, так как при прохождении параметра через него решение претерпевает качественные изменения. На рис. 5.5 представлена зависимость стационарных решений от значения концентрации исходного вещества А:
Х(|) = 0, Х(2) = к'А~ kj. (5.13)
(5.12)
Рис. 5.4. Логистический рост (закон Ферхюльста—Перла)
Нетрудно видеть, что устойчивое стационарное значение всюду непрерывно, в том числе и в точке Лкрит = к2/к\, где зависимость имеет характерный излом, который мы уже видели на рис. 4.12 в случае эффекта Бенара и лазерного эффекта. Из-за сходства с термодинамическими фазовыми переходами
Рис. 5.5. Положение устойчивого стационарного решения в зависимости от значения управляющего параметра А
второго рода в этом случае также говорят о кинетических переходах второго рода. Типичным термодинамическим фазовым переходом второго рода является обращение в нуль намагничивания ферромагнетиков в точке Кюри TKpHT. На рис. 5.6 представлен график зависимости намагничивания от обратной зависимости. Аналогия с кривой, представленной на рис. 5.5, очевидна. Из теории термодинамических фазовых переходов известно, что в окрестности критической точки флуктуации затухают лишь очень слабо (Ландау, Лифшиц, 1995).
Характерное явление слабого затухания флуктуаций наблюдается в окрестности критической точки и в случае химических реакций. При R = 0 получаем уравнение
X = -SX* допускающее решение
X(t) = -
Х(0)
+ X(0)st
(5.14)
(5.15)
Рис. 5.6. Намагничивание ферромагнетика как функция температуры Т (TKpitr — критическая температура)
В отличие от случая R Ф 0 флуктуации в окрестности устойчивого стационарного значения затухают не экспоненциально, а по закону (const/i). В этой связи принято говорить о мягких модах.
Если в систему (5.8) ввести реакцию, обратную второй реакции, т. е.
*¦ кг
А + Х?=*Х + Х, X i=±F, К к'
то получится уравнение системы
dX_ dt где
R = к{А - &2, S = k\,
= Q + RX - SX%
(5.16)
(5.17)
Q = k2F > 0.
При произвольном Q > 0 дискретный переход при R = 0 исчезает и заменяется непрерывным переходом. Всегда существует лишь стационарное решение, соответствующее положительному решению алгебраического уравнения
Q + RX- SX1 = 0.
Находим:
Х(|) = — 25
+
\*+Я]
.4 S2 Sj
1/2
(5.18)
(5.19)
Соответствующая кривая при Q — 1 представлена на рис. 5.7, на котором для сравнения показан предельный случай Q = 0. В окрестности точки излома при R = 0 происходит непрерывное изменение направления. Дискретный фазовый переход второго порядка при Q = 0 сменяется размытым фазовым переходом при Q > 0. Диффузные фазовые переходы играют большую роль и в термодинамике, они наблюдаются в твердых телах и в химическом равновесии, например, в ионизационном равновесии (Эбелинг и др., 1979).
Рис. 5.7. Стационарное состояние автока-талитической реакционной системы. Точками показана плотность распределения вероятности а рамках стохастической теории
Прямую аналогию с уравнением (S.18) мы находим в случае ферромагнетика, находящегося в постоянном магнитном поле Н. Для намагничивания М справедливо уравнение
Н+ 11 Af — М2 = 0.
№рит J
Аналогия с уравнением (5.18) очевидна. При Н > 0 дискретный термодинамический фазовый переход в точке Кюри «смягчается» и превращается в диффузный термодинамический фазовый переход.
Рассмотрим теперь временною зависимость решения уравнения (5.17). Интегрируя уравнение (5.17), получаем
-ГМ- * I К °11/г ‘-g-Pt-W (5 20)
23 [4S1 sj 1 + С exp l—t/т}' ^
Постоянную С находим из начального условия Х(0). Для времени релаксации т справедливо соотношение
r=[fi2+4Q5]_l/2,
где квадратный корень надлежит выбирать со знаком плюс. Из формулы (5.20) непосредственно видно, что при Q > 0 приближение к стационарному устойчивому состоянию неизменно происходит по экспоненциальному закону. Время релаксации т конечно и достигает максимума при R = 0.
Тем самым мы отчетливо видим, что квадратичные члены в законе распада приводят к качественным изменениям в поведении решения, соответствующим кинетическим фазовым переходам второго рода или диффузным кинетическим фазовым переходам. f ;
5.2. Стохастика простого самовоспроизведения
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 176 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed