Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
<3'72>
Как показали Гленсдорф и Пригожин (Glansdotff, Prigogine, 1971), существенной предпосылкой, при которой выполняется это уравнение, является существование локального термодинамического равновесия.
После некоторых преобразований мы получаем
^(ps) + V (psu + I JQ + ^2 з* Jk) = Jq ¦ vl +
+ ? ? • (Я - V/**) - Iff. .V« +1 ? wrAr. (3.73)
k Г
Здесь мы воспользовались разложением тензора давления на упругую часть рупр и диссипативную часть П:
Р — Рупр + И, Рупр = рй- (3-74)
Так как общее уравнение баланса плотности энтропии должно иметь вид
Q
—(ps) + V ¦ (pau + Js) = с, (3.75)
at
мы, сравнивая уравнение (3.75) с уравнением (3.73), получаем следующие выражения для плотности потока энтропии J, и плотности производства энтропии а:
J> = fJQ + 53 Jfc>
I (3.76)
та = Jq ¦ TV- + 53 Jk • (Fk - V/ik) - П ¦ -Vtt + 53 ®гЛ-
k т
Как показывает сравнение с производством энтропии в случае однородной системы по формуле (3.45), в неоднородных системах возникает ряд дополнительных источников производства энтропии. К их числу относятся теплопроводность, диффузия и внутреннее трение.
Локальное производство энтропии в этом случае также имеет структуру билинейной формы:
<r(r,0 = 53 Mr,t)Xa(r,t). (3.77)
а
Тем самым, общие выводы, к которым мы пришли в предыдущем разделе, остаются в силе. Основные исходные допущения теории изотропных систем сводятся к следующим.
1. Линейные соотношения Онсагера:
Ja = ^2L«pXp. (3.78)
Р
2. Соотношения симметрии Онсагера:
.........................Lap = lpa. ______________(3.79)
3. Принцип симметрии Кюри—Пригожи на: связь между тензорами различного ранга невозможна.
Из них в конкретном случае следуют соотношения
. г/ А>
W,
v_ 53 ^,т т ’
$
Jk = ? - VW) + LkQV (1) ,
Jq = LqqV + 53 LQtj;(Fl -
(3.80)
¦4 — ^ ‘ ytVttJcHMM
с соотношениями симметрии
L'T, = L'„, Lki = Luc, Lqi = Ljq. (3.81)
Заметим, что коэффициенты Lqi — Ljq связаны с эффектом Соре, или термодиффузией, а величина L пропорциональна коэффициентам внутренней вязкости:
Пц = -1](djU{ + diUj).
Вместе с уравнением (3.66) это линейное соотношение эквивалентно уравнению Навье—Стокса в гидродинамике (Ebeling, Klimentovich, 1984). Линейные соотношения неравновесной термодинамики обоснованы только в том случае, если потоки или силы линейно независимы. Линейную зависимость, если таковая представится, следует устранять до применения общей схемы путем исключения переменных. Рассмотрим в качестве примера диффузионный поток относительно скорости масс и:
В силу соотношений (3.80) между потоками имеет место линейная зависимость
Один из потоков линейно зависим от остальных и может быть полностью исключен. Для вклада диффузии в производство энтропии мы получаем выражение
мы получаем для (Гдифф билинейную форму, содержащую только линейно независимые потоки
Подставляя соотношения (3.88) в уравнения баланса (3.64) и (3.69), получаем, соответственно, уравнение диффузии и уравнение теплопроводности (De Groot, Mazur, 1962).
Аналогичным образом можно поступать во всех случаях, когда потоки или силы окажутся линейно зависимыми. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что предварительно произведена редукция к линейно независимым потокам и силам. Рассмотрим теперь критерий эволюции Пригожина для линейных необратимых процессов. Поскольку при выводе условий (3.S6) были использованы лишь совершенно
Л = с* («* - «)•
(3.82)
Я
(3.83)
откуда
(3.84)
(3.85)
_ Fk - V/** Т
Вводя приведенные силы
X'k = Xk-
м,
(3.86)
(3.87)
