Физика процессов эволюции - Эбилинг В.
Скачать (прямая ссылка):
Вводя локальную плотность производства величины Z и плотность тока jz,
Так как соотношение (3.59) должно выполняться для произвольного объема, из него следует уравнение локального баланса величины Z:
Для всех сохраняющихся величин член qz (источник) равен нулю. Например, если Z — М — масса и z(r, t) = р(г, t) — плотность массы, то, поскольку qu = 0 (сохранение массы) и ju =/>«(« — скорость массы, « = 2 2 Мксь), мы
получаем классическое уравнение неразрывности
(3.55)
OTJ3
Из положительной определенности матрицы {Lap} получаем:
бег >0, SP = VSc ^ 0, ба = 6Р = 0 лишь при 6Х„ — 0.
(3.56)
(3.57)
ле (3.32).
(3.58)
мы получаем по теореме Iaycca
J ^z(r, t)dV = J g,(r, t)iV — J jzdO
(3.59)
(3.60)
60 Глава 3. Термодинамические условия эволюции
Если отождествить Z с числом молей 1-й компоненты и ввести мольную концентрацию С* (г, t) в качестве его (числа) локальной плотности, jk — в качестве локальной плотности потока, определить поток диффузии J*(r, t) с помощью соотношения
ik(r, t) = p(r, t)u(r, t) + Jk(r, t), (3.62)
а плотность производства k~й компоненты — с помощью соотношения
qk(r, t) = Urn ^ vkrwr(r, t), (3.63)
то мы получаем уравнение баланса
— ck(r, t) = div [cku(r, t) + Л (г,*)] = 53 I/*’-wr(',J 0- (3.64)
Чтобы получить уравнение баланса для среднего импульса, мы исходим из гидродинамического уравнения движения:
p(r, t) ^u(r, t) = 53 с*(п О-РИл *) - vp(r, *)• (3-65)
Здесь Р;(г, f) — плотность силы, а Р(г, <) — тензор плотности. Используя операторное равенство
d д
S = m+u V' .
получаем после несложных преобразований
^ (ри) + V (рии + Р) = 53с*^- (3.66)
Следовательно, величины
jp = + Р, ¦ <7р = 53 (3-67)
можно интерпретировать как плотность потока и плотность производства локального импульса.
Рассмотрим теперь уравнение баланса энергии, представимой в виде интеграла от плотности энергии e(r, t):
Е = J p(r,t)s(r,t)dV.
В силу сохранения энергии q? = 0, и уравнение баланса имеет вид
д
—(pe)+divjc=0. (3.68)
Уравнение баланса для внутренней энергии (e(r, t) — плотность внутренней энергии) U = Е — ЕКИн — Епт = p(r, t)e(r, t) dV уже не свободно от источника и имеет вид
Определим с учетом соотношения (3.22) тепловой поток Jq соотношением
je = phu + Jq.
Здесь h — плотность энтальпии, определяемой из соотношения
Я = f p(r,t)h(r,t)dV. (3.70)
Наконец, примем для плотности производства внутренней энергии qe физически
«прозрачное» выражение
qe = J2Fb Jb-p-Vu- (3-71)
к
(Здесь и далее: символ • ¦ означает тензорное произведение.) Первый член в правой части формулы (3.71) соответствует работе диффузионного потока против внешних полей, а второй — работе потока импульса против тензора давления (внутреннего трения). Более строгий вывод уравнений (3.69)—(3.71) мы получаем, умножая уравнение (3.66) скалярно на и и вычитая получившееся уравнение из уравнения (3.68) (De Groot, Mazur, 1962; Хаазе, 1967).
При выводе уравнения баланса для плотности энтропии, определяемой как
S = J р(г, 0 a(r, t) dV,
воспользуемся фундаментальным уравнением Гкббса (3.10), которое, по предположению, справедливо в определенных границах и для необратимых процессов:'
TdS = dU + pdV-^2ftkdNk.
к
При переходе к локальной формулировке нам понадобятся соотношения
V = jpvdV, Nk = J pvkdV.
Здесь v — p~^ — удельный объем и плотность числа молей, связанные с единицей массы. Решающее предположение термодинамики необратимых процессов (Glans-dorff, Prigogine, 1971) сводится к гипотезе, что фундаментальное уравнение 1иббса выполняется также и локально, т. е.
m ds de dv г-л di/t
