Основы автоматики и системы автоматического управления. Лабораторный практикум - Барышев Г.А.
ISBN 5-8265-0234-7
Скачать (прямая ссылка):
из состояния z(t0) = z0 в z(4) = zк, необходимо и достаточно выполнение
условий: во-первых,
Z т* =т, т* -0, j1 к; (1.31)
1=1
во-вторых, управление u,(o) = (u,(t), t e [t*_j,t*]), соответствующее
значению L,(т*), существует и является оптимальным, т.е. выполняется
отображение
у: Lj (т*) ^ u* (•). (1.32)
Условие (4.11) выполняется в соответствии с уравнением (1.29).
Для исходных данных Rj и фиксированного временного интервала [t*_ь t* ]
ОУ всегда существует, так как (t* _ t*_j) - At^ .
Покажем, что если для Lj (т*) управление существует, то оно оптимально.
Для этого создается вычислительная среда, которая обеспечивает
в реальном времени по задаваемым значениям Rj и
[t*_j, t*]
решение следующих задач: расчет времени оптимального
быстродействия At^-; расчет значения вектора
синтезирующих переменных Lj; определение по значению Lj вида функции ОУ
u* (t); расчет с использованием вектора Lj параметров функции u*(t) и
значение частного функционала Ij.
Для этого вычислительная среда включает: формулы расчета вектора L,
соотношения для границ областей видов функций ОУ, расчета параметров
функций ОУ и функционала I, а также времени максимального быстродействия.
Лемма 2. Если для частной ЗОУ (1.21) с исходными данными Rj и [t*_j, t* ]
в качестве синтезирующих переменных взять
1 , =--4---(z, _ z, ! ^ ^ ) (1 _ ),
j bjAujAtj ajAujAtj
1 A A
a j = 2 aj Atj; Atj = tj _ tj_1, Auj = ^ ^,
то они однозначно определяют существования решения ЗОУ, вид и параметры
ОУ u* (t), при этом основные соотношения вычислительного пространства
следующие (индекс j y lj и aj для сокращения в соотношениях опущен):
1) условие существования решения ЗОУ
gн (a) < 1 < gв (a),
g н (a) =-(1 _ e2a), g в (a) = -(e2a _ 1);
aa
2) границы видов функций ОУ u('i)(t), i = 1, 2,, 6 для случая а < 0
3) расчет параметров ОУ
u*)(t) = d1e at, t e [t0, tK ] d1 > 0 ,
a< 0, 0 <f <gj(a); g^a) = -3-(e4a -1);
2a
u*2)(t) = d2e at, t e [t0, tK], d2 < 0,
a <0; g2(a) < l <0; g2(a) =~a(1 -e4a);
2a
u*3)(t) , te[t3) d3 > 0
|uh, t e [3, tK],
H'
a < 0; gi(a) < f < gв (a);
u(4)(t) = {d4e *' te[0't4^ d4 > 0,
k, t e [/4, tK]
a < 0; gH(a) < 1 < g2(a);
u(5)(t) = ив, t e[t0, tK ], d > 0,
a < 0; f = gв(a);
u(6)(t) = UH> t e [t0. tK]
a < 0; 1 = gH (a);
7 7 afAu
d = d0 =
1 2 2a -2a '
e -e
d3 =^(al + 1)e~2a(±)/(al +1)2 e~4a -1 jA. e [0; ив];
At, 2d3 t3 = t0 +-1^--; 2a Au
d4 = ^(al - 1)e~2a (±У(al +1)2 e~4a -1 jA e [uH; ив]:
2
4) расчет времени быстродействия
At, 2d4
t4=t0 +-1^-A-;
2a Au
f>0: At6 = Il"az- + bu
a az0 +buB '
л /л л. li а2к + bu"
l < 0: Д/6 =- ln-к--------------
a az0 + buH
5) расчет функционалов для разных видов функций ОУ
d 2
I(i) = -^(e~2at° -e-2atK), i = l, 2 ; - 2a
2
т 3 / -2at0 -2at3\ . 2 + \ .
1 (3) = - (e 0 - e 3) + "в (tK - t3);
I(4) = ^ (e^2at0 - e~2at4) + "н2 (tK - 14);
2a
н к 4
1 (5) = "в (tK - 1 (6) = "н (tK - t0) •
5 Численный пример. Рассмотрим решение комбинированным методом ЗОУ(/к) со
следующими данными:
z =
- 0,l5z(t) + 0,6"(t), z ? [20; 40],
- 0,l0z(t) + 0,5"(t), z ? [40;70],
- 0,08z(t) + 0,6m(t), z ? [70;90],
(l.33)
z(t0 = 0) = z0 = 20; z(tK = 26,37) = zK = 90 ; Vt ? [0; 26,37]: "(t) ? [-
20; 20];
I = J m 2(t)dt
^ min.
Требуется определить оптимальную программу изменения ОУ
г ¦ N Г N N
"* (о) = (t), t ? V 0, t* 1; "1 (t), t ? t*; t* 1; "** (t), t ? 12*;
26,37 У
z* (o) = (z* (t), t ? [0; 26,37]) и Iэ*.
Заметим, что приведенная модель (1.33) соответствует тепловому объекту в
виде емкости с жидкостью и здесь z - усредненная температура нагреваемого
тела.
Времена быстродействия, рассчитываемые по формуле (1.27), для
соответствующих стадий равны
Д^, = 2,7031, Д^2 = 6,9315, Д^3 = 13,7327.
б3
Так как
^t& " 23,3673 < tK = 26,37,
то решение ЗОУ существует. Распределяемый временной ресурс т составляет
3
Т = tK - Х^б* ~ 3.
к
i=1
i =1
Для определения моментов переключения ?*, г\ методом динамического
программирования выберем шаг дискретизации равным At = 1. С
использованием вычислительного пространства заполня-
ется табл. 1.1, в которой наряду со значениями функционалов Ij (т)
содержатся необходимые промежуточные значения At = (t;- -1;-1), f, a, вид
функции ОУ (при заданном At = tj -1- ) и ее параметры (d, /п).
При подстановке значений частных функционалов в функциональное уравнение
нумерация стадий меняется на обратную, при этом
ЗД = I(1)(т) = 13(т), I(2) (т) = 12 (т), I(3)(т) = 11(т) .
Результаты вычислений для двух последних стадий представлены в табл. 1.2
и окончательные результаты - в табл. 1.3.
Таблица 1.1
т 1-ая стадия
ЛЫ At f / a Вид ОУ d / /п
0 1081,2 2,7031 1,6442 -0,2027 Б 20
1 1011 3,7031 1,2846 -0,2775 Э 12,26 3,263
2 1000 4,7031 1,0670 -0,3527 Э 9,84
3 1009 5,7031 0,921 -0,4277 Э 8,17
т 2-ая стадия
I2(t2) At f / a Вид ОУ d / /п
0 2772,6 6,9315 1,443 -0,3465 Б 20
1 2772,5 7,9315 1,0309 -0,3966 ОЭ 14,05 3,531
2 2811,6 8,9315 1,200 -0,4466 ОЭ 12 5,108
3 2864,8 9,9315 1,1113 -0,4966 ОЭ 10,544 6,4
