Классификационные построения в экологии и систематике - Андреев В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
на множество родов сюръективно. Г Орграф на рис. 2.3 имеет две верши-
Отображение /: M-*-L называется инъективным, если для каж^Ы1 щ и о, у которых полустепень исхо-дого у ЕЕ L существует не более одного прообраза. Отображенийда равна трем:-из них выходят стрелки множества организмов выборки в множество реальных видов^ трем вершинам. Для вершины п полу-инъективно, так как существуют виды, к которым не принадле|сТепень исхода равна нулю: нет вершин, жит ни один из организмов выборки. Ьс которым направлены стрелки из п. 1Ю-
Если отображение /: М L одновременно сюръективно Щдустепень захода для вершин щ, и, о инъективно, то оно называется биективным. При этом множества равна двум.
М и L являются равномощными (содержащими одно и то же коли- Последовательность реоер, при^ кото чество элементов). Пусть L — множество видов, обнаруженных в некотором географическом пункте, М — список этих видов, состоящий из названий. Отображение /: М ->¦ L — биективно, если каждый реальный вид имеет название.
Введенные понятия поясняются схемой на рис. 2.2.
-у
¦У
в
¦у
Рис. 2.2 Схема, поясняющая сюръектпвное (а), инъективное (б) и биективное (в) отображения
рой конец одного ребра совпадает с началом другого, называется маршрутом. Путь — это маршрут вершины различны
2.3. Графы
Существует еще один способ задания бинарных отношений на' конечных множествах. Изобразим элементы множества М точками! на плоскости. Если выполнено отношение хАу, где х, у ЕЕ. М, тоГ проведем стрелку из х в у. Совокупность точек и соединяющих ия линий назовем графом, при этом точки называются вершинамИ| графа, а соединяющие их линии — ребрами. Если ребра изображаются в виде стрелок, то они называются дугами, а графы в этом| случае называются ориентированными графами, или орграфами. Симметричные отношения изображаются обычно в виде графов,] а несимметричные — орграфами.
Рис. 2.3. Отношение «быть хищником» на множестве М = {Щ, о,
п)
у которого все Если существует путь от одной вершины к другой, то говорят, что вторая вершина достижима
из первой.
Орграф называется сильно связным,
если любые две вершины взаимно достп-слабо связным — если любые две
соединены полупутем (нет двойных разнонаправленных
стрелок между любыми двумя вершинами), односторонне связным — если для любых двух вершин по крайней мере одна достижима из другой. На рис. 2.3 имеем односторонне связный граф.
>лъный граф (или биграф) — это граф, множество вершин
----- ¦ * лйтлочп'М ЧТО
ЖИМЫ, вершины
Двудольный граф (или «дорого можно разбить н. каждое ребро графа соединяет вершины из (на рис. 2.2 изображены двудольные графы).
г-,-* г. _ ‘“f*"*'/ --- J.
которого можно разбить на два подмножества таким образом,
* -----...гпoip тюпгттияьт из разных множеств
19
Рис. 2.4. Эквивалентные графы (цифры — вершины графа)
Говорят, что два графа обладают одной и той же структурой, если в одном графе столько же вершин и ребер, сколько в другом, и если ребра одного графа соединяют такие же вершины, что и в первом. Такие графы называются эквивалентными (рис. 2.4).
2.4. Алгебра логики
Элементарную основу алгебры логики составляет алгебра высказываний, в которой изучаются высказывания и операции над ними. При этом под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором можно вполне определенно и объективно сказать, истинно оно или ложно.
«Лошади едят овес» — высказывание, которое истинно; «кит — рыба» — высказывание, которое ложно; «будьте внимательны» — не является логическим высказыванием, поскольку относительно этой фразы нельзя сказать, истинна она или ложна.
Обычно истину обозначают единицей, а ложь — нулем. Тогда значение истинности равно либо нулю, либо единице.
По существу можно говорить об отображении /: М L,. где М — множество всех высказываний, a L = {0, 1}, т. е. об отобра-женин совокупности всех высказываний на множество L, состоящее из двух элементов, один из которых носит название истины, а другой — лжи.
В каждом высказывании имеется объект и предикат (признак, свойство). Чтобы пояснить эти понятия, разберем высказывание «млекопитающие не несут яйца». Здесь объект — млекопитающие, предикат — признак, или свойство, млекопитающих, заключающееся в том, что они не несут яйца. Обозначим значение истинности высказывания у, объект — я, а предикат — /. Тогда приведенное высказывание можно записать как
