Классификационные построения в экологии и систематике - Андреев В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
5s = {А, В, С, D).
Если все множества, рассматриваемые в определенной ситуации, являются подмножествами некоторого множества У, то последнее называется универсумом для данной ситуации.
Приведем примеры. Пусть в некоторых географических пунктах а и б учитывается наличие или отсутствие 20 видов животных. Тогда множество, состоящее из всех 20 видов, есть универсум; подмножества, входящие в универсум: А — виды, обнаруженные в а, В — виды, обнаруженные в б. Пересечение А П В — виды, общие для обоих пунктов; объединение A (J В — все виды, найденные в а и б.
Рассмотрим теперь количество элементов некоторых множеств, получаемых в результате операций над исходными множествами. Нетрудно убедиться, что
т {А П А) = т (А), (2.10)
т. е. количество элементов пересечения множества с самим собой равно количеству элементов этого множества;
т {A (J В) = т (А) + т (В) - т (А П В), (2.11)
т. е. число элементов объединенного множества равно сумме эле-
ментов каждого из объединенных множеств за вычетом числа одинаковых элементов;
т (I П В) = т (В) - т (A f] В), (2.12)
т. е. число элементов, которые принадлежат только множеству В
и не принадлежат множеству А, равно числу элементов множества В за вычетом числа общих для А ж В элементов.
Аналогично
т{А f) В) — т. {А) — т (A f) В). (2.13)
Приведем еще ряд полезных для дальнейшего изложения равенств:
т (Л U В) = т (А) + т (В) — 2т (A f\ В). (2.14)
див
9D.
яле
Рис.2.1. Диаграмма Венна
ДЛВ
Здесь т (A (J В) — число несовпадающих элементов, т. е.
т {A \J В) =т (А П В) + то {А П В). (2.15;
Наконец, число элементов, не принадлежащих ни А, ни В, ш
отношению к универсуму составит
в(.?П5) = го (у) ~ m (A U В). (2.16
Введенные понятия легко иллюстрировать графически с по-
мощью диаграммы Венна (рис. 2.1). Если прямоугольником изобра зить множество элементов универсума, а кружками — множеств; А и В, то содержимое множеств, полученных в результате перечне ленных операций (заштриховано), становится ясным из рисунка
Некоторые другие понятия теории множеств будут введен] ниже.
2.2. Отношения
Термин «отношение» легко пояснить перечислением некоторы примеров: «быть родственником» (отношение родства), «быть ш хожим» (отношение сходства), «быть неразличимым» (отношен! эквивалентности) и т. п., т. е. отношение — это качественное пош тпе, отражающее тот факт, что между некоторыми элементами ш пустого множества существуют (заданы) какие-то связи. Задат отношение на множестве — значит указать между какими элеме! тами оно выполняется.
Если отношение связывает сразу п элементов с указанием, к кой из них является первым, какой — вторым и т. д., то oi называется п-арным. При п = 2 имеем бинарные отношени Г. Виргоф (см. [40]) дает более общее определение бинарному отн
шению, понимая под этим любое правило, которое указывает для каждой упорядоченной пары элементов х, у ЕЕ М, что либо отношение имеет место между х и у, либо оно не имеет места.
В дальнейшем фразу «отношение А задано на множестве М* будем записывать как <Л, МУ, а фразу «элемент х находится в отношении А с элементом у» — как хАу. Запись хАу означает, что элемент х не находится в отношении А с элементом у. Естественно, что в общем случае хАу Ф у Ах.
Более точно понятие «отношение» можно определить в терминах теории множеств. Для этого введем некоторые дополнительные понятия.
Декартовым произведением (или просто произведением) множеств X и Y называется множество всех пар х, у, из которых х ?Е X
уеУ; это множество обозначается X-У. По индукции можно
определить произведение множеств Xv Хг, Х3, положив
Xi-Xs-X, = (ХГХ2).Х3 и т. д.
В частности, если Х2 = Хг = . . . Хп = X, то декартово произведение обозначается Хп и называется п-й степенью множества X. Произвольное подмножество
A ci Х-у-Хг . . . Х„ (2.17)
называется n-арным отношением между множествами Хи Хг, • ¦ •
. . ., Х„. Если Хх = Хг = . . . X, то А — ге-арное отношение на множестве X. В частности, если
А ? Х-Х = X2, (2.18)
то А называется бинарным отношением на множестве X.
Рассмотрим пример. Положим, что три вида рыб: щука, окунь, плотва — обитают в одном водоеме и находятся в отношении хищничества друг к другу. Сократим их названия до начальных букв и образуем из последних множество М = {щ, о, п}. Множество всех возможных пар: {(щ, щ), (щ, о), (щ, п), (о, щ), (о, о), (о, п), (п, щ), (п, о), (п, п)} — декартово произведение М-М = Мг. Рассмотрим подмножество А множества М, состоящее из шести пар:
А = {(щ, щ), (щ, о), (щ, п), (о, щ), (о, о), (о, п)}.
