Классификационные построения в экологии и систематике - Андреев В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
До сих пор рассматривался «одномерный» случай —ситуация, когда на изучаемых объектах измеряется всегоа лишь один признак. Однако на биологических объектах измеряются, как правило, сразу несколько признаков, поэтому для критериев, «различия» и показателей «расстояния» желательно найти многомерные аналоги.
В отличие от нормального одномерного распределения в многомерном, кроме параметров х и ст, необходимо учитывать также взаимосвязь между любой парой измеряемых признаков. Количественно эта связь характеризуется коэффициентом парной корреляции
N
У 21 ^m - *г>2 2 ^'m “ **)*
У vi т
где xim — значения ?-го признака у т-то объекта. Сумму, находящуюся в числителе (7.11), называют суммой смешанных произведений (СП), а СП, деленную на число степеней свободы (N— 1), ковариацией. Знаменатель формулы (7.11) — нормирующий множитель, представляющий собой среднее геометрическое СП г-го и к-то признаков в отдельности.
Многомерное нормальное распределение характеризуется следующими параметрами: R — вектор средних арифметических значений всех признаков (он называется также «центром» выборки), W — ковариационная матрица порядка р X р. Так что роль дисперсии в данном случае играет не отдельное число, а симметричная матрица, содержащая в общем случае р (р + 1)/2 различающихся значений, причем элементы главной диагонали суть дисперсии каждого признака.
В связи с этим при многомерных распределениях обычные алгебраические операции заменяются операциями над матрицами. Ранее (см. гл. 5) были введены понятия транспонирования, сложения и умножения матриц, теперь введем новую операцию — обращение. Матрица А-1 — называется обратной матрицей, если A ¦A~i — 1, где 1 — единичная матрица, у которой все диагональные элементы равны единце, а прочие — лулю. В обычной алгебре этой операции соответствует a-a~i = 1. Обращение матрицы достаточно большого порядка — трудоемкая и утомительная процедура, но, к счастью, настолько общеупотребительная, что для любой ЭВМ входит в комплект типовых программ. Методы обращения матриц для ручного счета можно найти в [12, 34].
Пусть даны параметры двух выборок
NRx, Wx; N„ R2! W2.
Расстояние между центрами выборок можно найти по аналогии с (7.5):
DU = («1 -82) W'1 (Rx - fi*)T, (7-12)
где W — обобщенная ковариационная матрица
{Nl +N,-2) W = 2 (*im - (*km - 41]) 4-
171=1
+ 2j (xim — 42)) (xhm — X(k}).
m=N i+l
Для получения элементов матрицы W нужно сложить соответствующие элементы СП-матриц и каждую сумму разделить на АТ1 N2 — 2. Расстояние (7.12) называется обобщенным расстоянием Махаланобиса.
По аналогии с (7.9) можно записать
гь-жтkDl->' <7ЛЗ)
где Т2 — многомерный аналог критерия Стьюдента (7.3), который называется критерием Хотеллинга. Критерий (7.13) служит для проверки гипотезы о принадлежности двух выборок к одной и той же ГС. В частности, величина
У — Р — 1 /7 144
Р Ъ + N,-2
имеет /'’-распределение Фишера с^и^ + iV2 — р — 1 степенями свободы. При р = 1 (одномерный случай) выражение (7.13) становится в точности равным (7.9).
Имеются и другие критерии, основанные на Т\л, например статистика
— alnAlj2, (7-15)
где Ali2 =------------------—г-------, а*= Ni-\- N2 — 1----------------g-
1 ¦
J\\ — .Vo — 2
имеет асимптотическое распределение с р степенями свободы. Кроме того, статистика
.у.к±1У\-Р (7.16)
‘4,2
имеет F-распределение Фишера с р и Nx -f iV2 — р степенями свободы.
Многомерным аналогом критерия Стьюдента (7.2) при неравных дисперсиях является критерий
?U=nf?irDlz. (7.17)
iVl ! iV2
где
DU = (Ri - fia) (Wr1 -r Щ1) (fix - fi2)r. (7.18)
Критерий (7.17) имеет асимптотическое распределение %" с р степенями свободы.
В многомерных распределениях в отличие от одномерных проверяется равенство не дисперсий, а ковариационных матриц сравниваемых выборок. Делается это с помощью критерия
iVl 111 т^гг ~L Л'2 In Т^Т ’ (7-19)
где элементы матрицы V подсчитываются по формуле
у _ 1^1 + ^2^2 .
- -Vi + iV2 ’
I V I — детерминант V (вычисление детерминантов см. [34]). Величина (7.19) имеет асимптотическое распределение с р (р ~ ~г 1)/2 степенями свободы.
Вычисление большей части показателей несложно, если известна величина Б\л — обобщенное расстояние Махаланобиса. Поэтому прежде всего опишем алгоритм подсчета D\i2. Если задан набор исходных измерений, то для получения В\л необходимо вычислить следующее.
1. Средние арифметические значения всех признаков отдельно для каждой выборки, в результате получим Rj, R2.
2. СП-матрицы \г и V2 для каждой выборки, где каждый элемент подсчитывается по формуле
