Классификационные построения в экологии и систематике - Андреев В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(задана двумя частями верхнего треугольника)
Я2 Дз д* Дь д6 Д, д8
51 50 44 34 25 20 24 R
Д7 52 57 51 47 29 23 31 R
Дв 48 53 57 49 32 31 40 R
Д5 50 40 49 60 44 43 45 R
Отношения сходства и различия, порождаемые мерами, введем аналогично тому, как вводились предыдущие отношения:
<СД)^> = {Rs, Д*&#|С(Д;,Дк)и>Д}, (3.23)
<1>д, Я) = {Rh Д*&Я? | D (R}, Rk)u > Д}. (3.24)
Графы отношений сходства Сд для восьми описаний фауны Курильской гряды приведены на рис. 3.4.
Поскольку матрица отношений сходства симметрична, то соответствующий ей орграф должен иметь все ребра взаимно ориентированными, и поэтому орграф заменяют графом.
При А = 51 граф не связный и распадается на две компоненты: Н1 с вершинами 1—<5 (описания южных районов) и Н2 с вершинами 6—8 (описания северных районов). При Д = 50 добавля- ' ются три новых ребра и граф становится связным. Вершина 5 является точкой сочленения двух компонент, и это характеризует соответствующий район (океанское побережье о-ва Итуруп) как ; промежуточный или граничный между двумя подобластями, из j
которых южную О. Кусакин [60] называет низкобореальной Айнской, а северную — высокобореальной Берингийской.
Вывод о том, что граница между двумя подобластями проходит через океанское побережье о-ва Итуруп, подтверждается также анализом орграфа отношений «банальности Z?eo» (рис. 3.5).
Из вершины 5 выходит наибольшее число стрелок, и соответствующее ей описание является самым «банальным», причем отношение «банальности» для него выполняется с описаниями обеих подобластей.
Рис. 3.4. Графы отношений сходства С51 (жирные линии) и Cso (тонкие лпнпи) на множестве описаний фауны литорали Курильской гряды
Рис. 3.5. Орграф отношений «банальности» на множестве описаний макрофауны литорали Курильской гряды
Примечательно, что в R5 встречено 158 видов, а в соседних северных районах 118 и 125 видов, т. е. видовой состав океанского побережья о-ва Итуруп не является самым бедным, а именно «банальным», неспецифичным. В противоположность этому самыми специфичными оказались описания /?3 (о-в Шикотан) и В% (о-в Парамушпр). Интересно, что Rs не является ни самым «банальным», ни самым бедным: литоральная фауна самого северного острова специфична по сравнению с некоторыми южными районами.
3.5. Отношение иерархии
На примере графа отношений С51 (рис. 3.4) можно проиллюстрировать результат разбиения множества Я на два подмножества: Нх = {i?lt . . ., Rs} и #2 = {i?e, i?7, Rs}.
В общем случае под разбиением Ж множества Я по отношению А будем понимать представление Я в виде совокупности непустых подмножеств Нк, к = 1, 2, . . ., п, таких, что
Не Г) Нк = Ф, ефк,
Подмножества Нк будем называть классами.
и н*= я. 1
(3.25)
Если задано разбиение, то элементы, входящие в один и тот же класс, называются эквивалентными (неразличимыми). Поясним, почему в обсуждаемом примере элементы из или Н2 эквивалентны: в каждом пз них рассматривается отношение «быть связным». Граф на рис. 3.4 наглядно иллюстрирует, что в каждой компоненте любая вершпна достижима из любой другой, следовательно, между этпмп вершинами существует путь, а это и означает, что они связны. Нетрудно убедиться, что отношение «быть связным» для вершин связного графа рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношения, обладающие всеми этими тремя свойствами, называются эквивалентностью.
Итак, эквивалентность порождает разбиенпе, и верно обратное: всякое разбиение устанавливает отношение эквивалентности.
Рассмотрим далее отображение некоторого множества Ж^ в множество Ж^К из которых последнее образовано соединением некоторых классов пз Ж(1)- Отображение /: Ж^ —у Ж(2) сюръективно: каждому элементу пз Ж(1) соответствует хотя бы один элемент из Ж(1). Соединение классов есть также класс, более широкий по сравнению с исходным. То обстоятельство, что Н(2) является классом более широким, чем Н^, отобразим как Н(2) И На отношение И назовем отношением иерархии (подчинения). Так что эта же заппсь может читаться как «Н(2) подчиняет Н(1Ь> или «Н(г> подчинен H^h.
Множество Ж(2) назовем сгущением Ж(1), если хотя бы один из классов Ж(2) есть соединение классов из Ж^\
Пусть далее
%= {ЖЫ,...,Ж^} (3.26)
есть множество разбиений, таких, что Ж1к) — сгущение Ж^~г), где к е К,
К — {к \ к — целое число, 1 ^ к s}.
Тогда в предельном случае Жа) состоит из всех классов, содержащих ровно по одному элементу, а Ж^ — из одного класса, совпадающего с Я.
Множество % есть иерархическая система, состоящая из s Уровней. Номеру каждого уровня можно сопоставить его ранг (так как К — упорядоченное множество), а название всех классов одного ранга считать категорией.
При практических построениях иерархических классификаций Удобно использовать различные приемы конструирования дендрограмм [24, 63] — графического способа изображения системы (3.26). Последовательный процесс образования сгущений начинается с рассмотрения q объектов, принадлежащих разбиению Ж(1). Иначе говоря, на первом шаге каждый объект из заданного множества считается классом. Затем два наиболее схожих объекта объединяются в один класс и общее число последних становится рав-
