Астрономическая оптика - Мaксутов Д.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1
°о = V = (* - 1) (Pi — Рг) — о
ИЛИ
sR1R2
(184)
194
и где продольная сферическая аберрация
X 1(Н + о) (2п + 1) + по] + (Р1 + с) [(Р1 + а) (п + 2) + 2яа]}. (185)
В частном случае бесконечно удаленной точки (5=00; а = 0) изображение образуется в главном фокусе, причем для бесконечно тонкой линзы отрезок 5^ равен фокусному расстоянию $у линзы-Делая подстановку а = 0 в предыдущие формулы, определяем фокусное расстояние бесконечно тонкой линзы в виде
1 1 / 4ч/ \ I о (и — *) (Р1 — Ра) _ ^ == == <РУ == (* - 1) (р1 — Рг) + У~-^-X
или
X [п* (Pi - Ра)2 -п(2п + 1) Pl (Pl - Р2) + (п + 2) pJJ (186)
1_ _у*_
/у «(д-!) (Pl~p2) ~ 2Mn-l)(Pl-P2)X
X [л» (Pi - Р2)2 -п(2п + 1) Pl (Pl - Pl) + (» + 2) pfl, (187)
или, наконец,
h- (л —1)(ЯЯ —Дх) ^2л(п-1)(Ая — R1)R1R2 x
X h3^! — "*i#2 (2л2 — 2л — 1) + A| (л8 - 2л2 + 2)], (188)
где первый член — параксиальное фокусное расстояние /0 и где второй член — главная продольная аберрация А/у = As^,
Если взять плоско-выпуклую линзу, например из стекла К8, у которого Пю = 1.5163, то, обращая ее к параллельному пучку сперва выпуклой (р2 = 0), а затем плоской стороной (рх = 0), соответственно находим фокусные расстояния по формуле (187):
I </л=-озшгг-',-°-5671*' (189)
I =- шщг +2,2 • 2-2266р- <190>
Так как рх при первом положении линзы равно —р2 при втором ее положении, то параксиальные фокусные расстояния /0 остались без изменения при повороте линзы на 180°, тогда как продольная сферическая аберрация возросла в 3.926 раз, или почти в 4 раза.
Обозначим разность кривизн двух поверхностей линзы через
ДР = Р1~Р2. (191)
Как это следует из (186) и (187), Ар однозначно определяет величину параксиального фокусного расстояния /0. Поэтому если
13* 195
брать линзы различной формы (изгиба), но с одинаковыми Др и показателем преломления п, то все они будут иметь одинаковую оптическую силу <р0 или одинаковое фокусное расстояние /0, но существенно различную сферическую аберрацию Д/^.
Перепишем выражение (187) в следующем более удобном виде:
1 у*
/у = /о + д/у ~ (Л — 1) Др ~~ 2п (п — 1)Др Х
X [^Др2 - п (2п + 1) Р1ДР + (п + 2) рЦ. (192)
Затем примем Др=+1 (положительная линза), после чего получим
{С?/о + ^ Т^Г=ТТ - 2к (/Г-1) ^ - » (2* + 1) Рх + (л + 2) р?]. (193)
Будем придавать различные значения рх — кривизне первой поверхности линзы, принятой за независимую переменную. Предположим, что линза изготовлена из крона К8, у которого для волны Х=0.555 мкм показатель преломления пх0= 1.51785. В этом случае параксиальное фокусное расстояние семейства таких линз различной формы равно (при Др=1):
(/0)^= 1.93106, (194)
а продольная сферическая аберрация (при Др=1)
(Д/До ^ —У2 (2.22445 — 3.89659?1 + 2.23776р?). (195)
Пользуясь последней формулой, строим кривую Д/у/у2 (рис. 72) для обусловленного выше случая: $=оо; Ар=1, Х0=0.555 мкм, стекло К8.
По оси абсцисс отложены значения рь а по оси ординат Д/ /г/2.
В табл. 44 приведены точные значения величины Д/у/у2 для различных форм линз и в том числе для линзы с наименьшей сферической аберрацией, которая мало отличается от плоско-выпуклой линзы с р1=+1 и р2=0.
При исследовании ахроматического объектива мы еще возвратимся к кривой рис. 72 и к числам табл. 44.
Таблица 44
s = оо ; Др — 1 ; стекло К8
Pi -2 -1 -0.5 0 +0.5 +0.87064 +1 +2 +3
А/У!/2 —18.96865 —8.35879 -4.73218 -2.22445 -0.83560 -0.52818 -0.56563 —3.38233 —10.67455
(minimum)
Таким же образом, как была определена главная сферическая аберрация линзы по формуле (187), могут быть вычислены по формуле (185) сферические аберрации линз в общем случае для любых значений сопряженного расстояния 5.
196
Рассмотрим интересный частный случай линз, в которых Др = = (рх— р2) относительно весьма мало. Так как при Др—0 линза обращается в мениск равной кривизны (рис. 73), то интересующий нас частный случай рассматривает семейство менисков, близких к мениску равной кривизны.
Если для общего случая линзы мы приняли с2=0 и все же получили достаточно громоздкие формулы сопряженных расстояний при таком упрощении, то для частного случая менисков с относительно малым Др мы можем и не пренебрегать толщиной ме-
Рис. 73.
ниска й, так как теперь формула для отрезка 5^ (при 5-со) может быть представлена в следующем достаточно удобном для вычисления виде:
Г(»»-!)(» + !) ^1 (п + 2) 1—&1п + 2) 6 \
2п
(196)
Д# I - d J
(197)
откуда угловая аберрация
Г(п2 -1) (п-\)
Ь*'9У 8(« + 2) -пч (д + 2)
Ъ ^ (6^)2 ^ —У3 гпЩ
Как видим из формулы (196), продольная аберрация менисков рассматриваемого семейства не зависит от кривизны их первой
197
поверхности, а определяется формой мениска, характеризующейся отношением ДДЛ2 и толщиной й.
Угловая же аберрация (197) зависит не только от формы (ДД/й) и толщины ((I) мениска, но еще и от кривизны первой поверхности (рх—1/Дх), причем угловая аберрация растет пропорционально четвертой степени этой кривизны (р*).
Изменяя отношение ДД/с2 выражений (196) и (197), можно получать мениски различных форм, из которых пока укажем следующие четыре характерные.
