Астрономическая оптика - Мaксутов Д.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Изобразим такое зеркало А С на рис. 64 и, пользуясь выражением (125), определим отрезок я^, который имеет отрицательный знак, как и радиус Н. Но зеркало действует как собирательная система и дает действительное изображение точки М в точке М'.
А А'
Рис. 64.
В случае зеркала пространством изображения является левая часть пространства, а не правая, куда лучи вообще проникнуть не могут.
Поэтому естественно переменить знак у величины s'ff на обратный. Но сделать этого в формулах"нельзя, не нарушая общности принятого правила знаков. Чтобы обойти возможные недоразумения, будем вычислять отрезки s'y, пользуясь общими формулами и правилом знаков, а затем, при вычисления дальнейшего хода лучей, распространяющихся по нашему условию слева направо, повернем зеркало АС на 180° вокруг вершины С в новое положение А 'С, показанное пунктиром; при этом изображение М' переместится в точку М'', а отрезок окажется положительным.
Дадим формулы параксиального отрезка, продольной, поперечной, угловой и волновой аберраций, а также асферичности исправляющей сферическую аберрацию сферического зеркала:
sR
(130)
2s+ R
(s + R)
178
(132)
*,=и^и?-' (134)
Последнее выражение показывает нам, в какой степени следует деформировать сферическую поверхность, чтобы получить асферическое зеркало, свободное от сферической аберрации для пучка с заданным расстоянием 5 до объекта и при заданном Й. — радиусе кривизны при вершине зеркала.
Для астронома представляет интерес вогнутое зеркало, собирающее в фокус лучи от бесконечно удаленного предмета.
Положив для этого случая 5=оо, находим
S' — —__/ (136)
Ч—Ш =_8/0 ' (137)
' h = — ~2R2 = ~~ Щ 9 (138)
У* У3 Ъ ^ " Ж ^ " ~Щ9 (139)
У* У' hy~ 4Д3 "~ 32/g > (140)
У* У* (141)
здесь /0 — фокусное расстояние для параксиальных лучей*.
Оказывается, что отклонение дуги круга ос радиусом Д от параболы с радиусом кривизны пртй вершине И=В определяется величиной выражения (141). Отсюда делаем заключение, что параболоид вращения является безаберрацибнной поверхностью для двух сопряженных точек: одной, лежащей в бесконечности, и Другой, совпадающей с главным фокусом.
Таким же образом можно было бы показать, что для любых двух сопряженных расстояний 5 и можно подобрать безаберрационную отражающую поверхность и что такая поверхность оказывается поверхностью вращения одного из конических сечений, т. е. эллипсоидом или гиперболоидом, а в частных случаях — Сферой, параболоидом или плоскостью.
12* 179
Коническое сечение может быть задано следующим уравнением: у*=2Йх — *2(1 — е»)
или
- (142)
— е/2(1-е»)
х~ 1-е2
где хну — координаты кривой, & — радиус кривизны при вершине и е% — квадрат эксцентриситета конического сечения.
Изобразим на рис. 65 некоторое коническое сечение, например эллипс. Пусть М и М' — его фокусы, а С — одна из его вершин.
Рис, 65.
Вращение такой кривой вокруг оси С ММ'Б даст поверхность, называемую эллипсоидом вращения. Обозначим отрезки СМ и СМ' через —5 и +5'; тогда эксцентриситет равен
ММ' + $
е — ОС — $' -8*
а квадрат эксцентриситета
(«' + *)а
*2- у!,)» - ("3)
Возьмем некоторую точку К на поверхности с координатами х и у и проведем нормаль КОк до пересечения с осью в точке Ок\ точка Ок не совпадает с точкой О — центром кривизны поверхности при ее вершине С.
Назовем отрезок ос=й радиусом кривизны при вершине, а отрезок СОк=Ну — абсциссой точки пересечения нормали с осью; предупредим, что Иу не имеет ничего общего с радиусом кривизны поверхности в точке К{х у Оказывается, что
Ду — 7? = ДДу = ге2, (144)
причем равенство это не приближенное, а точное.
Конические сечения можно задавать двумя параметрами: величиной А — радиусом кривизны при вершине и величиной
180
Таблица 35
Величина ег Форма кривой Форма поверхности
е2 > 1 Гипербола Гиперболоид вращения
е2=1 Парабола Параболоид вращения
1 > е2 > 0 Эллипс Эллипсоид вращения (вокруг большой
оси)
е2=0 Круг Сфера
е* < 0 Эллипс, повер- Сплюснутый сфероид (полученный вра-
нутый на 90° щением эллипса вокруг малой оси)
ег — квадратом эксцентриситета. От величины последнего зависит форма конического сечения, что видно из табл. 35.
Кривые и поверхности их вращения имеют подобную форму при равенстве е2; масштаб же кривой или поверхности определяется величиной Л. Поэтому все сферы подобны друг другу, так же как
Сплюснутые сфероиды
1
Эллип- §
О)
Гиперболоиды
0
Рис. 66.
и все параболоиды, и в то же время может существовать бесчисленное множество форм эллипсоидов, гиперболоидов и сплюснутых сфероидов.
На схеме рис. 66 указаны области или классы гиперболоидов, эллипсоидов и сплюснутых сфероидов, для которых границами раздела являются параболоид и сфера.
Найдем отклонение на зоне у между двумя поверхностями конического сечения, имеющими различные квадраты эксцентриситетов е\ и е|, но одинаковые радиусы кривизны при вершине Й. Выражение (142) позволяет представить это отклонение в следующем виде:
181
откуда
хх — х2 = Ах1г 2 ^ -у* —^— . (145)
Если принять е| = 0, т. е. находить отклонение поверхности от сферы, касательной при вершине, то величина &хг 2 = ^ явится не чем иным, как асферичностью поверхности, и примет вид
