Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
распространяется в ( + п) -направлении, другая - в (-п.)-направлении.
Это единственный случай, когда не происходит усиления волны. При всех
остальных уравнениях состояния и другой зависимости а(г|) усиление
начальной волны будет происходить (Грищук, 1974). Отметим сразу, что для
монохроматической
192
И. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ФЛУКТУАЦИИ
волны может быть как усиление, так и ослабление начальной амплитуды в
зависимости от ее фазы. Для стохастического набора волн со случайными
фазами всегда будет усиление (после усреднения по фазам).
Для а(т)), которые зависят от времени г] степенным образом, величина
а/а~тр2 с некоторым численным коэффициентом. При лт!<с1 в уравнении
(11.15) выражение в скобках, являющееся квадратом переменной частоты,
становится отрицательным, а мнимая частота соответствует уже нарастанию
колебаний..
Уравнение (11.15) для произвольных а(г)) не имеет решения в квадратурах,
и анализ его в общем виде обременен большим количеством математических
выкладок. Для того чтобы эти детали не заслоняли физической сути решения,
рассмотрим случай таких волн, которые всегда остаются длинее горизонта,,
т. е. величины гр Это условие можно записать в виде (Старо-бинский, 1979)
л2<Сй/а.
Одно нетривиальное решение уравнения (11.15) легко угадывается: а(т))
=BiO(r)), а второе находится стандартным методом. Общее решение имеет вид
сг(г)) = Вга(л) + В2а(л) Г -. (11.17)
J "2 (Л)
Первое слагаемое в (11.17) увеличивается с ростом масштабного фактора и
потому соответствует так называемой растущей моде в гравитационных
волнах. Второе уменьшается с увеличением а(ц). Это так называемая
падающая мода. Начальные условия для а(г]) естественно задавать на стадии
Р-е/3*, когда мы хорошо определяем амплитуду волны и величины ее обеих
мод. Они выражаются через амплитуду нулевых колебаний /ко/2. После
периода усиления, когда решение-описывается выражением (11.17), вновь
наступает эра радиационной доминантности р = е/3. Решение для возмущений
метрики вновь описывается выражением (11.16) с другими коэффициентами при
экспонентах
a(r\) = Clein"+C2e-in".
При переходе от одного режима расширения к другому, что-символически
можно записать
(р = е/3)->-(р = -е)->-(р = е/3), поправки к метрике сшиваются так, чтобы
ни величина a, hw
* Такая стадия могла иметь место до инфляционной стадии. Однако-
конкретный вид закона расширения до инфляционной стадии для иас нё-важен.
1
2. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ
193
"ее первая производная не терпели разрывов. Это позволяет выразить
коэффициенты Сь С2 через их значения на предыдущих •стадиях Вх, Вг и
окончательно Ах, А% когда задается амплитуда невозмущенной волны. Для
волн, удовлетворяющих на инфля-щионной стадии условию m^l, эта
зависимость имеет вид
Сх = Z2 (4 + А,) + ± Z2 (А1 - А2),
с2= - -Z2(A1 + A2) + ~Z2(A1~A2);
.здесь Н - параметр Хэббла на инфляционной стадии, связанной с плотностью
энергии ложного вакуума pv, как Н2 = = 8яру/3ти a Z - отношение
масштабных факторов в конце и начале инфляции
Z=exp{H(tf-ts)}.
После усреднения по фазам получаем среднеквадратичное уси-.ление
амплитуды возмущений
"|С1|2> + <!С22!))~^ДМ(|Л1а>+<1Л12})-
"Окончательное выражение для современной плотности энергии гравитационных
волн с частотой 1010 Гц>г>10-14 Гц есть
eg(v) = Aev-^--L (11.18)
mpi v
где А - численный коэффициент порядка единицы, а ет - (Плотность
реликтового электромагнитного излучения. В более длинноволновом диапазоне
е"м="ч-5-(-т)'т; (И'|9)
Мрх \ V / V
.здесь Ec = 3Ho/8nG- критическая плотность, Но - значение параметра
Хэббла в нашу эпоху [63].
Гравитационные волны, рожденные в деситтеровскую эпоху, •обладают
чрезвычайно широким спектром 1010 Гц>т> 10-17 Гц. Наиболее сильно должны
проявлять себя гравитационные волны с длиной порядка размера горизонта
Вселенной. Фотоны .реликтового излучения распространяются в переменном
гравитационном поле этих волн. При движении в переменном поле •фотоны
изменяют свою частоту, что для наблюдателя эквива-.лентно угловым
вариациям температуры реликтового электромагнитного излучения по небу.
Анизотропия реликтового излучения до сих пор не обнаружена. Однако на ее
величину есть довольно сильные наблюда-
194
11. ПРОИСХОЖДЕНИЕ ФЛУКТУАЦИЙ
тельные ограничения. Из них можно найти ограничения на параметр Хэббла на
инфляционной стадии. В терминах планков-ской массы ограничения на #mf
выглядит как
#inf< 10-4mpi. (11.20)
§ 3. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
В § 1 мы рассмотрели, как возникают флуктуации плотности в инфляционной
модели. Эти флуктуации, очевидно, являются адиабатическими. Далее,
возникновение избытка барионов, описанное в § 5 гл. 8, также приводит к
адиабатическим флуктуациям плотности барионов, так как в рассмотренной
модели величина (NB-N^ )/Ат определяется лишь фундаментальными
постоянными теории и является пространственно однородной. Эти соображения
привели к большой популярности адиабатических флуктуаций (тем более что
предсказываемая, ими картина качественно описывала наблюдения), а
