Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Астрономия -> Долгов А.Д. -> "Космология ранней Вселенной" -> 63

Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.

Долгов А.Д. Космология ранней Вселенной — Москва, 1988. — 199 c.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка): kosmologiyaranneyvselennoy1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 85 >> Следующая

ds2 = (1-8яСр2г2/3) dl2- (1-8nGpr2/3)~ldr2-гЧО2.
. Будем рассматривать теперь только трехмерную часть полного интервала -
часть, определяющую пространственную геометрию:
dl 2= (1-8nGpr2/3)~ldr2 + r2dQ2. (9.5)
Покажем теперь, что эта геометрия трехмерной гиперповерхности совпадает с
геометрией замкнутого мира Фридмана, т. е. является сечением замкнутого
мира в момент максимального
2. СВОЙСТВА ПОЛУЗАМКНУТОГО МИРА
145
расширения. Введем величину а, имеющую размерность длины, согласно
а2 = 3/'(8яС?р),
а радиальную координату г выразим через гиперсферический угол х как
г-a sin х-
Тогда метрику (9.5) можно свести к виду
dl2 = a2 (dx2 + sin2 х^2) >
который очень похож на геометрию замкнутого трехмерного мира. Отличие его
от геометрии замкнутого мира заключается в том, что у замкнутого мира
угол % изменяется от нуля;до Хо = я, а в нашем случае хо<я.
Вернемся к наглядному изображению метрики как геометрии на некоторой
поверхности, вложенной в фиктивное 4-мерное пространство У, х, у, z. В;
пустоте, в области решения Шварц-шильда, поверхность описывается
уравнением
l+(dr/dr)2^{l~rg/r)-\
решение которого -
T(r)=2V~7Jr~=7J~. (9.6)
Внутри материи поверхность представляет собой часть сферы с уравнением
'У2 + г2=а2. (9.7)
Представим себе полную геометрию как сшивку двух поверхностей вращения в
эвклидовом пространстве: одна поверхность
(9.6) соответствует метрике в пустоте, другая (9.7) соответствует метрике
внутри тела.
Кривая У{г), которая получается для малой части мира Фридмана хо<я/2,
склеенная с решением Швардшильда, представлена на рис. 41.
Отрезок ОА соответствует части фридмановского решения. При вращении дуги
ОА вокруг оси ОУ получается часть сферы. Метрике Швардшильда
соответствует кривая АВ. Эта кривая, будучи продолжена вплоть до оси Or
(пунктир), пересекает
ось с вертикальной касательной при r=rg. При склейке в А,
однако, продолжение кривой АВ не используется. Чем меньше угол хо, тем
меньше искривление поверхности вращения ОАВ.
Наоборот, чем больше хо, тем более искривлена поверхность ОАВ и тем
больше искривление реального пространства. При Хо = я/2 фридмановская
часть- полной метрики становится равной половине замкнутого мира. При
этом к точке А кривые ОА и АВ подходят, с вертикальными касательными. Для
внешнего
146
9. КВАНТОВОЕ РОЖДЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
наблюдателя это значит, что в центре системы координат .- точке О -
находится черная дыра с гравитационным радиусом, равным а - радиусу
полусферы.
Поверхность, эквивалентная полузамкнутому миру, показана на рис. 42. На
этом рисунке части мира Фридмана соответствует дуга ОА. Обычное решение
Шварцшильда с массой, рав-
Рис. 41. Сшивка геометрии Фридма- Рис. 42. То же, что на рис. 41,
иа с геометрией Шварцшильда при увеличении кривизны мира
Фридмана (полузамкнутый мир)
ной массе полузамкнутого мира, показано жирной линией АВ. Однако сшить ОА
и АВ, очевидно, невозможно, так как dTldr будет неоднозначна в А.
Правильный способ сшивки показан дугой ОАСАВ.
Масса, измеряемая внешним наблюдателем по гравитационному полю в пустоте,
определяется из выражения (9.4):
т = 5 р (г) -4nr2dr.
Напомним, что здесь 4nr2dr уже не есть элемент объема, который
записывается в виде
dV=4nr2{l-rg/r)-V2dr.
В полузамкнутом мире координата г с удалением от центра меняется
немонотонно. На двумерном графике Т(г) точка г - это некоторая точка на
кривой ОАСА'В, описывающей поверхность вращения вокруг ОТ. На этой
поверхности r = const уже окружность радиуса r = a sin %. В трехмерной
геометрии это - объем (трехмерная сфера).
Картина, показывающая г = const в виде кругов, изображена на рис. 43. При
удалении от центральной точки
2. СВОЙСТВА полузамкнутого мира
147
х = у = 0 и увеличении гиперсферического угла % размер окружности сначала
растет, затем достигает максиму* ма при зс=л/2 и затем вновь уменьшается
до значения г с (рис. 42). Одновременно гс совпадает с гравитационным
радиусом тела, измеряемым внешним наблюдателем. Поскольку Гс<а при
хо>зт/2, то для внешнего наблюдателя полная масса полузамкнутого мира т
меньше, чем сумма масс слагающих его элементов вещества.
Формально то же самое можно доказать, обратившись к выражению т через р:
т = С p(r)-4nr2dr.
%)
Поскольку г изменяется немонотонно, то удобно ввести параметр,
обеспечивающий однозначность. Возьмем в качестве такого параметра
расстояние q, отсчитанное от точки О по поверхности полузамкнутого мира,
т. е. на рис. 42 длину кривой ОА.
В новых переменных масса Рис- Почти полное замыкание
мира Фридмана. Его масса для внешнего наблюдателя может быть п jr
произвольно малой
т = |р(<7)-4яг2(<7) - dq.
Добавляя вещество (строго говоря - пыль) во внешнее по отношению к
полузамкнутому миру пространство, т. е. %>Хо, мы уменьшаем массу этого
мира для внешнего наблюдателя, поскольку dr/dq<0 на дуге АС.
При постепенном увеличении объема полузамкнутого мира (увеличения %о при
данном а) за счет добавлений пыли на границу А части мира Фридмана и
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 85 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed