Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
величины r?v действуют последовательно на все индексы по указанному выше
закону:
DyT w... = дцТ w... - Г nVT iy... ГдуТ1 ух... - • • • •
Нетрудно проверить, что D"ga$ = 0.
На фоне однородной нестационарной метрики (2.1) уравнение для скалярного
поля принимает вид
Л*. !_ДфЧ т2ф + ЗЯф = 0, (6.18)
dt2 а2
где Н = а/а - параметр Хэббла. Нас будут интересовать однородные (т. е.
не зависящие от пространственных координат решения), когда Дф = 0 и
уравнение (6.18) сводится к уравнению колебаний с переменным трением
Ф + ЗЯф + т2ф = 0, (6.19)
так как параметр Хэббла, вообще говоря, зависит от времени.
В действительности, как мы уже отмечали, надо решать самосогласованную
задачу, когда эволюция Я(t) определяется самим скалярным полем ф. Ее мы
рассмотрим ниже, а сейчас проанализируем простой случай Я = const,
отвечающий решению де Ситтера. Физически такой случай реализуется, если
полный тензор энергии-импульса материи определяется какими-то другими
полями (среди них, быть может, есть еще скалярные), которые устроены так,
что для них справедливо соотношение р = -е, приводящее к деситтеровскому
режиму # = const.
Решение уравнения (6.19), как и прежде, будем искать в виде
ф(0 = фо^,
где X - уже комплексное число, удовлетворяющее квадратному уравнению
л2 + ЗЯА,+ т2 = 0, (6.20)
корни которого равны:
*,=----^ Н± т2. (6.21)
Случай т>3/2Я сводится фактически к эволюции скалярного поля ня
стационарном фоне. Единственное отличие от ре-
108
6. СКАЛЯРНЫЕ поля в космологии
шения вида eimt заключается в адиабатическом уменьшении амплитуды с
декрементом 3/2Я.
Значительно более интересная ситуация возникает при т<сЯ. Физически это
сводится к тому, что фон меняется быстрее самого поля <р. Тогда корни
(6.21) приближенно равны
Первое из этих двух решений с течением времени падает существенно быстрее
второго, так как ЗЯ^т2/ЗЯ. Поэтому из фактически произвольной
суперпозиции
с течением времени выживает только второй член. Исключение составляет
лишь вырожденный случай ф2 = 0.
Плотность энергии и давление, отвечающие решению (6.23) соответственно
равны:
Мы видим, таким образом, что соотношение между р и е экспоненциально
быстро (как e~3Hi) стремится к р = -е с точностью до членов порядка
(m/ЗЯ)2. Наоборот, при сжатии Вселенной, что отвечает изменению знака Я,
как легко видеть, выживает только первое слагаемое в (6.23) и "уравнение
состояния" стремится к предельно жесткому р=+*г.
В вырожденных случаях ф1 = 0 или ф2=0 мы имеем соответственно -е или р^+е
при любом t. В общем же случае соотношение между р и е изменяется со
временем, асимптотически выходя при расширении на р - -е и на р=+в при
сжатии. Эта ситуация иллюстрируется рис. 26, где изображено отношение р/е
в зависимости от времени. Процесс сжатия можно получить из расширения
заменой Яэ-t.
Горизонтальные линии отвечают вырожденным случаям Ф1 = 0 или ф2=0.
Сплошные кривые отвечают режиму расшире-
= -3 Я, >.2 - -т2/3 Я.
В соответствии с этим возникают два решения:
Ф1(*) = Ф1е-зн< и ф2(^)~ф2е-тЧ/ЗЯ
(6.22)
Ф (?) = ф1е~3//; + ф2е~тЧ/3//
(6.23)
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
109
ния, пунктирные - сжатия. Положение и форма кривых зависят от начальных
условий, но их асимптотический предел всегда одинаков. Он определяется
только эволюцией Вселенной.
Иными словами, решение, отвечающее р=+е, при расширении неустойчиво и
наоборот при сжатии неустойчиво решение, отвечающее р=-е.
Эта ситуация очень похожа на принцип Ле-Шателье-Брауна в термодинамике. В
равновесии р=р(р) и энтропия постоянна. Поэтому независимо от пути по
фазовой плоскости р всегда одно и то же (при замкнутой траектории). В
случае неравновесных процессов газ при сжатии развивает давление больше
равновесно-
Рис. 26. Эволюция отношения р/е для скалярного поля в расширяющейся
(сплошная линия) и сжимающейся (пунктир) Вселенной. Асимптотические
значения отношения р/е отличаются от единицы (при т-С//) на величину
2т2/9//2
го, т. е. как бы дополнительно сопротивляется сжатию. Наоборот, при
расширении газ сопротивляется расширению и давлению меньше. Поэтому в
реальных газах после замкнутого цикла мы всегда имеем прирост энтропии
AS>0. Но для этого нужны поправки типа
Р=Р{p. S)+ttP=p(p, S)-131/ с а>0 и р>0,
т. е. как раз удовлетворяющие принципу Ле Шателье-Брауна. Изменение поля
ф в рассматриваемой задаче происходит в полной аналогии с этим
термодинамическим примером.
Перейдем теперь к анализу самосогласованной задачи. Вначале рассмотрим ее
упрощенный вариант. А именно, будем
полагать, что вторая производная по времени ф значительно
меньше, чем Нф и чем т\. Кроме того, будем предполагать,
что ф<тф: и что фон тоже меняется медленно, т. е. Н<^Н2. Тогда
самосогласованная система уравнения для поля ф и масштабного фактора
принимает вид
1 г,о 4nG .. т / 4л
- 1Н =--------е или Н = ф 1/ -. (6.24)
2 3 ШР1 Г 3 v '
В этом упрощенном случае решение нетрудно выписать:
110
6. СКАЛЯРНЫЕ поля в космологии
Ф = Фо-nmip\t/Y 12я.
