Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
= 1/2т2ср2,
(6.17)
р = х/2ф2.- 1/2т2ф2 = 1/2m2cpo [cos2'(m/ + ф)-sin2(mt + ф)] =
= -1/2т2ф2 cos (2mt + 2ф).
Плотность энергии, как и следовало ожидать, не зависит от времени, а
давление оказалось отличным от нуля, несмотря на то, что частицы
покоятся. Впрочем, усредненное по времени давление обращается в нуль.
Если поле ср представляет собой суперпозицию состояний (6.16) со
случайными фазами ф, т. е. набор независимых частиц, то в результате
усреднения по фазам давление обратиться в нуль. Мы получаем в итоге
естественный результат, что некогерентная суперпозиция покоящихся частиц
имеет нулевое давление и, таким образом, справедливо пылегюдобиое
уравнение состояния р = 0.
Поле ф может представлять собой когерентную суперпозицию квантов. В этом
случае можно говорить о классическом поле, давление которого отлично от
нуля и осциллирует со временем, хотя, повторим, в среднем по времени р =
0. Заметим, что это утверждение справедливо лишь для свободного поля,
когда П(ф) =т2ф2/2. Для более сложных потенциалов U(ц>) среднее давление
не исчезает.
Если существенный интервал времени достаточно мал, т<т-1, то для
когерентного состояния поля ф соотношение между р и s с течением времени
может меняться от предельно жесткого, р= + е, до вакуумного, р = -е. Это
удобное упрощение более сложной картины состояния вещества. Дело в том,
что в рассматриваемом случае когерентного скалярного поля вообще не
существует уравнения состояния, позволяющего выразить р(ф, ф) через е(ф,
ф). Тем не менее при достаточно медленной эволюции поля имеет смысл
говорить об уравнении состояния. То, что эффективное уравнение состояния
меняется от р=-1-8 до р = -в, наводит ка мысль, что поле ф может вызвать
экспоненциальное расширение Вселенной в течение того времени, пока
справедливо уравнение состояния р = - е. Чтобы более аккуратно получить
этот результат, нам придется рассмотреть уравнение движения поля ф в
расширяющейся Вселенной.
Для космологических приложений весьма существен вопрос, как долго система
пребывает в состоянии, характеризуемом условием р = -8 (хотя бы
приближенно). Ниже мы. увидим, что в нестационарной Вселенной в уравнении
движения (6.10) возникает дополнительная сила трения, тормозящая
скатывание ф вниз к положению равновесия и обеспечивающая достаточную
продолжительность инфляции.
106
6. СКАЛЯРНЫЕ поля в космологии
Подчеркнем, забегая вперед, что само по себе расширение Вселенной не
меняет соотношения р=-е. Но если поле <р не постоянно, то внутренние силы
меняют р, а заодно меняется и е.
§ 2. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
Выше мы рассмотрели поля материи в плоском пространстве-времени, когда
гравитационное поле было несущественно. При этом можно установить многие
важные качественные свойства этих полей. В космологической ситуации,
однако, необходимо учитывать взаимодействие полей материи с гравитацией,
или, иными словами, описывать их на фоне нестационарной метрики,
отвечающей искривленному пространству-времени. Метрика, как известно,
определяется именно полями материи - их тензором энергии-импульса. Мы
приходим, таким образом, к необходимости решения самосогласованной задачи
о совместной эволюции гравитационного и материальных полей. В качестве
предварительного этапа мы рассмотрим скалярное поле ср, эволюционирующее
на фоне заданной однородной метрики. Физически такая ситуация может
реализоваться, когда гравитационное поле определяется какими-то другими,
помимо <р, полями, а вклад <р в полный тензор энергии-импульса
пренебрежимо мал.
Уравнения движения поля ср в искривленном пространстве получаются из
уравнения в плоском пространстве (6.13) стандартной процедурой замены
обычных производных (?"==djdx* на ковариантные A,=d"+IV, где величина Г"
зависит от того объекта, на который действует ?>". Смысл этой замены
состоит в следующем. Мы знаем, что в плоском пространстве
дифференцирование в декартовых координатах является тензорной операцией.
Иными словами, если ср - скалярное поле, то (9"ср - вектор; для
векторного поля Л" величина является тензором второго ранга и т. п. В
искривленном пространстве (или даже в плоском, но в криволинейных
координатах, например в сферических) это положение уже не справедливо.
Взятие производной приводит к величине, не являющейся тензором. Дело в
том, что в операцию дифференцирования включается вычисление разности
функций в двух близких, но различных точках. В искривленном пространстве
тензоры в разных точках преобразуются по-разному, поэтому их разность не
обладает тензорным законом преобразования. Для компенсации возникающего
отклонения и производят упомянутое выше "удлинение" производной. Из
сказанного выше очевидно, что для скалярной величины ковариантная
производная совпадает с обычной. Для вектора
2. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В РАСШИРЯЮЩЕЙСЯ ВСЕЛЕННОЙ
107
где r?v = -L g'-a (д^ + dllgva-dagllv) - символы Кристоф-
феля. При ковариантном дифференцировании тензора произвольного ранга
