Космология ранней Вселенной - Долгов А.Д.
ISBN 5-211-00108-7
Скачать (прямая ссылка):
В заключение процитируем шутливое высказывание Я. И. Померанчука, что вся
физика - это физика вакуума:
и (у}
Рис. 23. Эффективный потенциал системы, обладающей метастабиль-пым (или
ложным) вакуумом при Ф = 0 и истинным вакуумом при ф = ф0
4*
100
6. СКАЛЯРНЫЕ поля в космологии
часть I "Насосы и манометры" и ч. II "Квантовая теорш вакуума".
Глава 6.
СКАЛЯРНЫЕ ПОЛЯ В КОСМОЛОГИИ
Скалярное поле было введено в физику Юкавой в 1935 г. Кванты этого поля -
я-мезоны - были вскоре открыты, однако в 60-е годы выяснилось, что л-
мезоны не фундаменталь ны, а состоят из кварков. В итоге скалярное поле
было изгнано из избранного круга фундаментальных полей, но продолжалось
это недолго. Калибровочные теории со спонтанным нарушением симметрии
потребовали введения скалярных - хиггсов-ских полей, которые обеспечили
бы перенормируемость теории
Дополнительный аргумент в пользу существования скалярных полей дает
суперсимметрия. В последнее время с ней связывают надежды на построение
единой теории взаимодействий элементарных частиц. Суперсимметрия
связывает между собой поля с разными спинами и таким образом представляет
собой еще один шаг на пути унификации частиц и их взаимодействий. Частицы
с разными спинами рассматриваются как разные состояния фундаментального
поля. Из факта существования полей со спином 1/2, I и 2 суперсимметрия
делает вывод о существовании полей с спином 0 и 3/2. Таким образом, мы
снова приходим к скалярному полю.
Интерес к скалярным полям в космологии вызван тем обстоятельством, что с
их помощью можно естественным образом получить столь интересующее нас
соотношение р = -е. Ниже мы на различных примерах разберем, как это
достигается.
§ 1. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОМ
ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
Лагранжиан комплексного скалярного поля <р можно записать в виде
где потенциал С(ср) для свободных невзаимодействующих полей имеет вид
Отсутствие множителя 1/2 в этом лагранжиане по сравнению с лагранжианом
(3.6) связано с тем, что последний был записан для действительного поля.
Вводя действительные поля
<?=Кф|2-^(ф),
(6.1)
1У0(<р)=т2|ф|2.
(6.2)
I. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ В ПЛОСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ
101
ф! и ф2: ф= (ф1 + 1'фг)/У2 мы перейдем от лагранжиана (6.1)
к сумме двух лагранжианов (3.6). На рис. 24 мы изобразили
вид потенциала U (д>) = т21 ф|2 (точнее, его "продольное" сечение, из
которого полный потенциал в плоскости ф!ф2 получается вращением вокруг
оси U). Заметим, что лагранжиан
(6.1) с потенциалом (6.2) инвариантен относительно фазовых преобразований
ф-*-фе'с'. (6.3)
Потенциал ?7(ф), отвечающий хиггсовским частицам (рис. 17), можно
записать в виде
^п(ф) = 1/4Я,(фо2-|ф|2)2. (6.4)
Этот потенциал также инвариантен относительно преобразований (6.3), как и
любой потенциал {/ = ^(|ф|).
Как мы уже отмечали, точка ф=0 не является точкой устойчивого равновесия
потенциала (6.4). Устойчивой является линия
Ф = Ф0е'а" (6.5)
с произвольной фазой с0. Разлагая лагранжиан вблизи этого положения
устойчивого равновесия, т. е. полагая <р = (фо+х)е<°" получим
&= (д"х)2+ (фо + х)2(^о)2 -Л(ф02х2+фоХ3+Х'1/4) • (6.6)
Этот лагранжиан описывает два типа полей: массивное поле х с массой т2 =
Хфо2 и самодействием 1/4Л(х4+4ф0х3) и безмассо-вое поле о. Инвариантность
относительно преобразований (6.3) теперь отсутствует. Произошло
спонтанное нарушение симметрии. Появление при этом безмассового поля о
является следствием общей теоремы Голдстоуна. Заметим, однако, что если
бы мы добавили в лагранжиан векторные калибровочные поля,
взаимодействующие с ф, то безмассовое поле не возникло бы, а
соответствующая степень свободы превратилась бы в продольную компоненту
векторного поля, как это и происходит в теории электрослабого
взаимодействия (§ 8 гл. 4).
Специальный интерес для нас представляет выражение для тензора энергии-
импульса поля <р, так как последний является источником гравитационного
поля. Рассмотрим простейший случай свободного действительного поля,
описываемого лагранжианом (3.6). Тензор энергии-импульса определяется как
вариационная производная действия по метрике
Tw = J (Рх Vg [?ардадцЧ>-U (ф)] =
= дцфдгф l- gp.v [ё^дссфдрф-(ф)].
(6.7)
102
6. СКАЛЯРНЫЕ поля в космологии
В частном случае однородного поля ср, зависящего только от времени,
сводится к
Отсюда видно, что при специальном выборе состояния однородного поля ф =
ср(^), таком, что ф = 0, а ф=т^0, возникает как раз чрезвычайно важное
для космологии соотношение р = -е.
Как мы увидим ниже, в случае свободного скалярного поля с потенциалом
(6.2) это равенство может быть справедливым только в определенные
дискретные моменты времени, так как
в силу уравнений движения состояние с ф = 0 и ф^О отвечает
Ф=т^0. Если, однако, изменение ф медленное (т. е. ф - достаточно мала),
то соотношение р = -е может приближенно выполняться в течение достаточно
длительного времени. Легко видеть, что в случае хиггсовского поля условие
ф=0 и Н(ф)?=0 может быть справедливо при всех t.
