Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
так что в силу (152) и (17)
Xi = (qn -f- qu)Xt, X2 = (Ча- ?is)X2. i(202)
Тогда
Xi-X2 - 0, (^1Ц
Xi-X^-Xi-X^ (21a)
XrX"=0, X2-Xi=0. (21з)
Действительно, из (15i) видно, что положения лг<, т2, тп3 в
гелиоцентрической системе координат х (т3 выбрано в качестве "Солнца")
определяются векторами zi, х2 и х3 = 0. Следовательно, вектор Xj
определяет координаты середины основания т\т2 равнобедренного
треугольника, причем вектор zt - х2 перпендикулярен
21 А. Уинтнер
322
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
it этому основанию. Таким образом, векторы (20i) перпендикулярны друг к
другу, что доказывает (21i). К (212) приходим после дифференцирования
(21i), а формулы (21з) вытекают из (21i)
Кроме того, существуют два постоянных вектора Ai, А2 такие, что при любом
t
Действительно, из (202) вытекает, что X* X X" = 0, i - - 1, 2, т. е. что
Xi X Xi = const. Этим самым доказывается не только (21i), но и (222), так
как (У X Z) - Y = 0. Наконец, применяя тождество (3) § 65 к а = Xi, Ъ =
Xi, с - Хг, d = Х2 и используя (21i), (212) и (22±), придем к (22з).
Дифференцируя (223), получим Xi'-X2' =• - Xi-Xz", откуда X/ -X/ = 0 в
силу (21з). Следовательно, также
Подставляя выражение (202) для X/', Х2" и используя (212), увидим, что
2q&Xi-X2 = 0, откуда At-А2 = 0 в силу (18г) и (22з). Таким образом,
векторы Ai и А2 перпендикулярны друг к другу. Так как из (21i) и (22г)
видно, что это справедливо для любой из трех пар векторов Xi, Х2; Ai, Xt;
Аг, Х2, то четыре вектора At, А2, Xi, Х2 взаимно перпендикулярны.
Следовательно, по крайней мере один из этих четырех векторов должен
обращаться в нуль. Однако ни Xi, ни Х2 не могут обратиться тождественно в
нуль. Действительно, условие (180 эквивалентно в силу (20i) условию Xt X
Х2^ 0, откуда Xi ф 0, Х2 ф 0.
§ 346. Поэтому
(I) по крайней мере один из двух постоянных векторов Ai, А2 обращается в
нуль;
(II) векторы Xi = Xi (t), Х2 = X2(t) могут обращаться в нуль лишь при
изолированных значениях t, взаимно перпендикулярны и определяют в
пространстве (X) плоскость, проходящую через начало координат;
(III) если Аа ?= 0, то постоянный вектор Л а перпендикулярен к упомянутой
в II плоскости;
(IV) если Аа = 0, то, как видно из (22i), вектор Ха = Xa(t) расположен
всегда на прямой, проходящей через начало координат в пространстве (X) и
остается с ростом t неизменным;
и (2Q,).
Xi X Xi = Ai, Х2 X Х2 = А2,
AfXt = 0, А2-Х2 = 0,
(Х1-Х2)2=Л1-Л2.
(220
(22,)
(220
(Х/.Х/)' = Xt'-X2"+ Х2.Х'{ = 0.
i 340-347. ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
323
(V) во всех случаях плоскость, упомянутая в II, не изменяется с ростом
t. Это вытекает из III или IV.
Векторы Xi, Х2 выражаются через |i, |2, |з по следующим формулам:
Xi = v?3 Х2 = (5i - |г), (23i)
где
v =
(fi = )¦
(23а)
р. - т3
Эти формулы вытекают из (19i), поскольку в силу (20i)
X* = ~2 (& + Ь) - |з, Х2 = - (|i - &>) "
а 2тп,1,- = 0.
Заметим, что I допускает лишь три случая:
(г) Ау О = Аг, (ii)At = О Ф Аг,
(iii)Ai = 0 = А2,
причем случай (Ш) совпадает с (IV) при а - 1, 2 и несовместим с (III). В
то же время (III) и (IV) совпадают с (i) и (ii) а (II)
/
\
*)
-V
Рис. 12.
и (V) имеют место во всех трех случаях. Следовательно, поскольку
постоянный скаляр (232) отличен от нуля, то из (23i) видно, что движение
двух равных масс вокруг то3, при котором mi и т2 всегда располагаются в
вершинах равнобедренного треугольника, должно соответствовать при любом t
одной из трех симметричных конфигураций. Они изображены на рис. 12 а, б,
в, причем предполагается, что барицентрическая координатная система
выбрана
21*
324
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
соответствующим образом. Стрелками указаны векторы скорости. Вектор
скорости т3 на первом рисунке расположен в плоскости U1" ?п)- На втором
рисунке массы тщ, т2 и их векторы скорости обладают симметрией
относительно оси ?ш. Плоскость третьего рисунка совпадает с плоскостью
(I1, ?п).
§ 346а. В соответствии с рисунками лишь случай (ш) соответствует плоскому
решению (см. определение в § 324). 13 случае (i) движение обладает
неизменной плоскостью симметрии (совпадающей с плоскостью I1, |п). В
случае (гг) движение обладает осью симметрии (совпадающей с осью |ш). В
случае (ш) существует постоянная ось симметрий, лежащая в плоскости
движения.
Легко показать, что в случаях (г) и (ш) должно иметь место столкновение
rrii и лг2, чего не может быть в случае (ii).
Наконец, сравнение рисунков с (5) § 322 показывает, что в силу симметрии
движения равенства (6) § 323 имеют место во всех трех случаях, причем С =
0 в случае (ш). В то же время из § 326 следует, что С ф 0 в случаях (?) и
(гг).
Из сказанного вытекает, что условие С - 0 (см. § 335) является лишь
необходимым, но не достаточным, для одновременного столкновения всех тел.
В случае (ш) такого столкновения можно избежать с помощью
соответствующего выбора оставшихся постоянных интегрирования.
§ 347. Так как rrii - гп2, то по причине симметрии движения вытекает, что
если при соответствующем выборе постоянных интегрирования ?г(?°), 1г/(?°)
