Термодинамический формализм - Рюэль Д.
Скачать (прямая ссылка):
В условиях предложения 9.7 0vjr = 0vjr и 0erg = 0erg. Значения 0, отвечающего периодическим точкам новой системы, совпадают со значениями 0, отвечающего периодическим или виртуальным периодическим точкам старой системы. Тем самым, и здесь 0^0.
§4. Трансфер-оператор С 227
§4. Трансфер-оператор С
Как и раньше, рассмотрим систему (X, /, д), состоящую из компактного подмножества XcR, кусочно-монотонного отображения / и функции ограниченной вариации д. Выберем минимальное покрытие (Ji, ..., Jn), связанное с /. Назовем трансфер-оператором оператор С, определенный на банаховом пространстве В функций X —> С ограниченной вариации формулой
(»)w= E д(у)Цу),
У¦ Jy=X
И положим9
R = Iim (||?m||0)1/m.
т—> оо
Тем самым, R — это спектральный радиус того же С, но действующего на пространстве ограниченных функций X —> С.
Теорема 9.10. (а) Спектральный радиус Rb оператора С, действующего на В, удовлетворяет неравенству
0 ^ Rb ^ R-
(b) Существенный спектральный радиус оператора С не превосходит 0.
(c) Если g ^ 0, то Rb = R- Если, кроме того, 0 < R, то R служит собственным значением оператора С и существует отвечающая ему собственная функция Фо ^ 0.
В параграфе 9.6 мы увидим, что R ^ max (0, expP(ln \д\)), где P — давление.
Доказательство утверждения (а). Для каждого то > 0 подберем такое ут, что
тп—I т — 1
П cAfkVm) Ss^sup Y[g(Jky) ¦
к=0 У к=о
9B другом месте (Ruelle [12]) мы использовали обозначение R для спектрального радиуса оператора \С\, действующего на пространстве ограниченных функций и определяемого как как оператор, который получается при замене д в определении С на \д\.
228
Глава 9
Пусть Фт — функция, равная единице в точке ут и равная нулю в остальных точках. Тогда
Rb= Iim ||/Н|1/т > Hm (^Ц/^Фл")
оо оо Vz J
1/т
Iim
т—>оо
т—1
1/г,
т—1
П 5 (Zfe У"
Iim ( і sup Yl fj(fky)
т.—^no \ z -1- -1-
к= О
Аналогично получаем
к=О
1 /г
0.
R = Um (\\?т\\0)1/т ^ Hm (||?™Фт||0)1/т =
т—1
Iim П g{fkym)
т. —у по
к=О
1/т
0.
Пусть интервалы Ji, і = I, ..., N, где С ,/^образуют разбиение пространства X и ірі — отображение, обратное к /1. Положив
Vi1,...,гк(х) =д(Фпх) ¦ д{'Фі2'Фгіх) ¦ ¦ ¦ ді'Фік ¦¦¦Фііх)-,
мы получим
Cmф(х) = E tPi1 ,...,i>rXx)®(^i,n ¦ ¦ -фігх),
Varсшф = EsuP \д (fk 2х) ¦¦ -g(fx)g(x)\ • E Var(5 )х
к= 1
X sup
У
+
fcfc+1 '
E ^ + 1---гт(^У)Ф(^гт ¦¦¦ФіьУ)
+ sup Ig (/т_1а;) ... g(fx)g(x) | • Var Ф.
X
Следовательно, если 0 > 0, R > R, то найдутся такие С, С' > 0, что
Var Cm Ф < С
EVar5O^-E0fe lRm feII^IIo+ 0™УагФ
к=1
< (ш + 1)С" (max(0, i?))m • Var Ф
§4. Трансфер-оператор С
229
и, значит,
Iim \\Ст\\1/т < max(0, R) = R.
т—> оо
Доказательство утверждения (в). Пользуясь обозначениями пункта (а), возьмем точку ^li.из области определения отображения 'фі,„ о ¦ • ¦ о Ipil (если эта область непуста) и определим оператор Km равенством
(КтФ)(х) E ° ¦ ¦ ¦ ° Фііхіі,...,іт)-
il . . . ini
Очевидно, Km — оператор конечного ранга, и если мы докажем, что
HE IlCm -KmW1Zm (9.1)
т—>• оо
то из формулы Нуссбаума [1] для существенного спектрального радиуса будет следовать, что существенный спектральный радиус оператора С не превосходит 0. Будем действовать так же, как в пункте (а), но с заменой СтФ на CmФ — KmФ. Заметим, что
E 11Ф° ° •••
г& + 1 • • • im
- Ф (грігп о ... о гргк(гргк_1 о ... о IpilXil. . . ))||о < УагФ,
а потому
Уаг(?тФ — КтФ) <
т
^ С Var д о Xpi ¦ Qk 1 Qm k var Ф + 0™ • 2 Var Ф
к=і
< (т + 1)С"Єт Var Ф,
откуда вытекает (9.1).
Доказательство пункта (с). Пользуясь условием д < 0, мы получаем
Iim WCmW1/"1 > Iim (Var(?ml))1/m >
т—*оо т—оо /р. ~\
> Hm (||?т1||о)1/т = Iim {\\Cm\\Q)1/m = R,
оо т—>• оо
так что Rb ^ R- Тогда, согласно п. (а), Rb = R-
230
Глава 9
Предположив, что О < R, докажем, что R — собственное число оператора С и что отвечающая ему собственная функция неотрицательна. Мы можем написать
і = ф+Ефі’
і
где каждая функция Ф^ принадлежит обобщенному собственному подпространству оператора С, отвечающему собственному числу A j с | Aj-1 = R. При этом
Um ^1=5 = 0,
т—> оо T
где 0 < г < R. В силу (4.2)
Iim IogVaxOCmI) = Iogi?
т—>оо ''Ь
и, значит, не все Ф, равны нулю.
Записав ограничение оператора С на обобщенное собственное пространство, отвечающее Aj, в жордановой нормальной форме, можно убедиться в том, что существует целое к ^ 0, для которого Ипі = ф^’
TYl —OO Д'/ ^ JYl
при всех j, и что найдется j, для которого Ф;/ ф 0. Так как
3
RmTTik RmTrik j XmTTik^
мы получаем
E ("д) (9.3)
j
где 0 ^ є (то) —> 0 при то —> оо. Заметим, что сумма в левой части последнего неравенства конечна и что Aj-/Tl = 1 при всех j.
Пусть (. . . )т обозначает усреднение по то Є Z. Тогда (9.3) приводит к неравенствам
А,
^(l±cosmn)E(^) фз)т^°
§4. Трансфер-оператор С
231
<J(1± sinrnn) E(r^f) фі)
т
з
Если A j ф R при всех j, то