Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Если обратиться к модели, изложенной в гл. 6, то можно сказать, что представление аргумента в форме (1) похоже на представление обычного вещественного числа х вещ в виде суммы целой и дробной частей:
х вещ = [х вещ] {х вещ } z х
Приращение | Д^ | должно быть не меньше единицы, приращение | Дх | может быть сколь угодно малым, но сама величина х < 1.
Теперь о функции F(X). Предположим, что функция является локально-непрерывной, т.е. непрерывной по типу 2. Предположим также, что функция непрерывна на сопряжениях любых пар масштабных уровней, кроме сопряжения вещественного и первого мегауровня. Следующие два равенства дают примеры подобных функций:
F (X) = ах + Ьц,
F (X) = х 2 + 2кхц + ц2.
Обе функции являются локально-непрерывными, т.е. непрерывными по типу 2. Если а = Ь и к = 1, то функции будут непрерывными также и по типу 1, т.е. непрерывными на стыке любых пар масштабных уровней. Если же а ф Ь, к ф 1, то при переходе с вещественного уровня на мегауровень будет наблюдаться разрыв. Задача состоит в том, чтобы построить определенные интегралы от подобных функций.
Можно указать ряд естественных требований, которым должен удовлетворять искомый интеграл.
10. Интеграл от суммы функций должен быть равен сумме интегралов от каждого из слагаемых; умножение функции на константу должно приводить к умножению интеграла на ту же константу.
20. Интеграл по промежутку [a, b] должен быть равен сумме интегралов по [a, g] и [g, р]. В частности, интеграл по [a, b] равен минус интегралу по [b, а]. Определенный интеграл должен обладать свойствами согласованности, а именно: если подынтегральная функция является непрерывной или промежуток интегрирования является та-
ким, что наличие разрывов между масштабами никак не проявляется, то неархимедов интеграл должен переходить в интеграл Римана.
Для указанный выше примеров последние требования означают следующее:
30. Если a = b или к = 1, то должны иметь место следующие формулы:
b
J (ax + ah)dX = a
a
bb J (x2 + 2xh + h2)dX = b
a
2
(2)
a
3
40. Если длина интервала b - a представляет собой конечное число, то функция непрерывна и интеграл от нее выиисляется по правилам, рассмотренным выше. Например, если a = 2w, b = 2w + 1, то
2w+1
2w 2w+1
J (ax + bh) dX = J(ax + b • 2a>)dx = a-
+ 2w • bx
2w
J (x2 + 2kqx + h2)dX = J[x2 + 2k • 2wx + (2w)2]dx
(3)
x3
— + 2kwx 2 + 4w2
3
В приведенныгх примерах величина h = 2w представляет собой фиксированный параметр, а х играет роль переменной интегрирования. Например, если под X = 2w + х понимать время, то h = 2w — это номер геологической эпохи, а х — наблюдаемое время на вещественном уровне. В пределах интервала [2w, 2w + 1] возможность смены геологических эпох никак не проявляется, поэтому интеграл сводится к интегралу по переменной х. При a = b, к = 1 значения интегралов (3) переходят в значения (2). Если же непрерывности по типу 1 нет (т.е. a ф b, к ф 1), то для вычисления интеграла необходимо ввести специальную процедуру. Перейдем к ее описанию.
Определенные интегралы. Обычная процедура разложения интервала [a, b] на отрезки состоит в том, что выбираются точки
a = X0 < X1 <...< X„-1 < X„ = b, (4)
которые принимаются за границы отрезков. Каждая точка (4) характеризуется парой координат (xi,hi): Xi = xi + hi, i = 0,...n. Поэтому естественно перейти в плоскость (x, h) и разложение (4) изобразить
a
2
А) Ло В0А1 Ъо+1 В1А1 Ап_1 Л о-l Л„_1Л Л* Вп I---(--*------И----*------И.....(---X--------Н-—х------)>
< > ^----> < X----> < X---> < > ^--> Y
р q р q pqpq
Рис. 8.4.
как (n + 1) точку на данной плоскости. Возможности, которые открываются на этом пути, будут рассмотрены в следующем подразделе. Сейчас ограничимся только одномерным анализом. Вначале уточним процедуру разложения. Пусть a = h0 + х0; b = hе + хе;
h 0 < h е и
h0 <h 1 <...<hi <...<hn = hе; i = 0,...n. (5)
О точках h i будем говорить, что они попали в поле нашего зрения (рис. 8.4). Возьмем какую-нибудь точку Xi = hi и будем двигаться от нее вправо по оси OX по вещественному масштабному уровню. При этом мы будем проходить точки с координатами X = hi + x. Ясно, что перейти к точке с большим значением h > h i таким образом невозможно. Действительно, точки (5) принадлежат к мегауровню и расстояние между любыми двумя из них является актуальным бесконечно большим числом. Например, h2 - h 1 = 0,1w. Поэтому переход к большему значению h от X = h + x возможен только путем пересечения точки горизонта.
Обозначим расстояние до точки горизонта через q. Точно так же расстояние до точки горизонта при движении в отрицательном направлении обозначим через p (см. § 36). Соответствующий отрезок обозначим через AiBi (см. рис. 8.4). Он имеет длину l = p + q. Будем считать, что данный отрезок также находится в поле нашего зрения. Предположим, что значения р и q от координаты h не зависят. Данное ограничение не является принципиальным и облегчает только техническую сторону дела.
