Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
играющее роль в теории p-распада, * упрощенной " или "не* упрощенной "
теорией.
При спине случай х = 0 не допускает градиентных пре-
образований второго рода, как и при спине 0. Для спина 1 и выше и х = 0
эти преобразования допустимы.
§ 4. СЛУЧАЙ СИНТЕЗА ТЕОРИЙ ДЛЯ СПИНА 1 И СПИНА О
Напишем уравнения (1) для волнового поля бесспиновой частицы в форме,
аналогичной (99):
р*(.1й+хв==0* (155)
В этих уравнениях $k - пятирядные матрицы: четыре ряда
действуют на вектор Uk, пятый - на скаляр U. Компоненты - V" Vs
поля (х) U мы будем обозначать ?/р(р = 1, 2, ..., 5),
а вместо будем сокращенно писать $ku. Множи-
тели (х) /з перед Uk и (х) U перед U введены для того, чтобы сделать
уравнения более симметричными. В этих обозначениях и*и имеет размерность,
обратную объему, как и в теории
Дирака.
Уравнения (52), (53) для поля в случае спина 1 можно
также написать в виде (155). При этом $k должны быть десятирядными
матрицами, четыре строки которых действуют на
вектор Ufc9 а шесть-на антисимметричный тензор Uik. Компо-"/" - 1/в
ненты поля (х) (х) Uik обозначаются ир(р = 1, 2, ..., 10).
Дэффин1) отметил интересный факт, что как пятирядные, так и десятирядные
матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям
о56)
г) R. J. Duff in, Phys. Rev. 54, 1114 (193S).
Частные случаи полей
59
Основанная на этих соотношениях алгебра может быть изучена независимо от
специального представления гиперкомплексных чисел fi, так же как и в
случае алгебры, основанной на матрицах у/ Дирака.
Четыре матрицы единичная матрица / и все степени и произведения р^ дают
126 линейно-независимых величин. [Число независимых степеней и
произведений ограничено соотношением (156).] Пятирядные и десятирядные
представления этой алгебры уже были определены выше. Кроме них имеется
тривиальное одномерное представление, в котором р^ = 0, а / = 1. Эти
представления неприводимы, в алгебраическом смысле; других неприводимых
представлений нет *).
Следовательно, если опустить тривиальное одномерное представление (к
которому мы, однако, вернемся впоследствии в связи со специальным
вопросом), то уравнение (156) не содержит ничего, кроме данных в §§ 1 и 2
формулировок теорий для частиц со спином 0 и 1. Однако мы исследуем,
согласно Кеммеру2), несколько подробнее этот формализм, так как,
повидимому, его можно расширить, чтобы включить высшие значения спина.
Беря часть (156), антисимметричную по k и /, и полагая
ski= sik~ $k$t Р/?*" (1^7)
получим:
РА/ 5а/Р/ = ^/*Р/ (158)
ч
С помощью этого соотношения можно показать, что уравнения (155) лоренц-
инвариантны. Если ортогональное преобразование
х t = 2 aikxk
для заданных $k соответствует преобразованию
и' - Аи,
то А должно удовлетворять соотношению А ^^ = 2 aik$k9
к
Ч Система гиперкомплексных чисел р/, / и степени и произведения Р/
известна в алгебре как полупростая. Согласно общей теореме о размерности
представлений и порядке системы 126 = I2 52 Ю2.
2) Н. Kern me г, Proc. Roy. Зое. А. 173, 91 (1939); F. Booth,
А, Н. Wilson, Proc. Roy. Soc. А. 175, 483 (1940); А. Н. W i 1 s о п,
Proc. Camb. Phil. Soc. 36, 363 (1940).
60
Часть вторая
аналогичному (103). Для бесконечно малых преобразований **=** + S 4ixi>
Л = / -f- 2" 4iski
i k i
(skI-численные коэфициенты, skl=-slk - матрицы) мы получим соотношения
(158)1). Мы видим, что определенные выше величины skl обусловливают
поведение и? при бесконечно малых преобразованиях.
Для вычисления важно отметить, что эти матрицы не имеют обратных. Из
(156) следует в частном случае
- О Для Ьфк. (159)
С другой стороны,
(160)
Матрицы
(lei)
обладают простыми свойствами:
гД = /, Vb = V)/. (162)
h7lk==z для = (163)
Если предположить, что а следовательно, и rjk эрмитовы (по аналогии с
матрицами Дирака) - а это предположение совместимо с (156), - то можно с
помощью 7]4 [в теории Дирака для этой цели служит у4 (113)] определить
функции и*
tf = u*ru, (164)
удовлетворяющие уравнениям duf Ч
и преобразующиеся при непрерывных лоренц-преобразованиях по
закону
= А-*,
так что (ofи) является инвариантом относительно этих преобразований. Для
пространственных отражений [см. (107)] х*=-х\ х\ = х4
*) В связи с этим см., например, В. Паули, Общие принципы
волновой механики, ГТТИ (1947), ч. П, § 2, форм. (А').
Частные случаи полей
61
имеются две возможности; и! = Т[4и или и4 = - ri4u. Последняя
относится к теориям, упомянутым в §§ 1-2 [уравнения (И),
(49)].
С помощью легко построить функцию Лагранжа
1=тИ*?,-;|гИ+","' (,б6)
вектор тока
sA = /at^a (167)
и канонический тензор энергии
<|68>
причем sk и Tlk удовлетворяют уравнению непрерывности.
Для перехода от (155) к волновому уравнению необходимо
проделать некоторые вычисления. Умножив (155) на
получим
т(Ш.+Ш^,+*Ы>,?=о.
или, по (156),
=°-
Используя опять (155), мы придем к равенству
<169>
Дифференцирование по х{ и суммирование по I дают
Пи- х2я = 0. (170)
С другой стороны, из (155) и (169) следует, что
з^+5"1г;+хР'в=:0* (171>
Мы хотим здесь обратить внимание на возможность другой
