Физические поля в общей теории относительности - Мицкевич Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Мы покажем, что обнаруженные здесь трудности исчезают, если мы откажемся от требования вещественности для некоторых компонент г/nv, т„ е. от требования (6.7.5). При этом мы перейдем к величинам и посту-
226
яируем новое соотношение
HlSv = a**. (6.7.61)
Тогда вместо (6.7.48) следует записать
[а<+>*^(р), at-^(q)]_=-(6^6ve + flv“6^)e(p-q), (6.7.62)
а также
[а<+>*^v(P), a(-)(q)]_== -26^v6(p-q), (6.7.63)
[а<+>‘ (р), а<-)“« (q) ] _ = -26^6 (р - q), (6.7.64)
[а<+>*(р, a(-)(q)]_= — 86(р — q). (6.7.65)
Величины CL1XV выбраны здесь в качестве основных, потому что именно для них имеют место перестановочные соотношения (6.7.48), а также диагона-лен 4-вектор энергии-импульса; эти обстоятельства указывают, что истинными операторами рождения и уничтожения, аналогичными соответствующим величинам в электродинамике, являются компоненты ^v, а не у^-Используя связь (6.7.61), мы приходим вместе с тем к полноценным в физическом отношении (в смысле интерпретации как операторов рождения и уничтожения частиц) и операторам у^v. Именно, преобразование (6.7.25),
(6.7.26) принимает вид
14- і
fl(+rnv (P) = p<+)*HV(p)---(6.7.66)
4
г/(+)*мл>(р) = а(+)*м*(р)-------^+Гбмл7, (6.7.67)
4
и перестановочные соотношения для г/, у* записываются точно так же, как и для а, а*:
[г/(+)*^(р), 2/<-)038 (q)]- = - (6^6ve + б^бгш) б(р - q). (6.7.68)
Чтобы принятое нами предположение (6.7.61) не нарушило соответствия с классической теорией, где величины г/цу вещественны, приходится ввести в квантовой теории гравитации индефинитную метрику в пространстве амплитуд состояния точно таким же образом, как это обычно делается в квантовой электродинамике (Гупта, 1950; Блейлер, 1950). Вводится эрмитов оператор г],
г]+= г], (6.7.69)
обладающий свойствами
T12= 1' (6.7.70)
(отсюда следуют значения +1 и —1 для его собственных значений),
ЛФвак = Фвак? (6.7.71)
Tji/ULV = InxvK]. (6.7.72)
При определении средних значений (основных при переходе к классическому пределу!) будем пользоваться не обычными эрмитово сопряженными амплитудами состояния Ф+, а «т^-сопряженными»:
Ф = Ф+т), (6.7.73)
так что
<F> = ФРФ = Ф+т^Ф. (6.7.74)
Мы приняли условие (6.7.72) по той причине, что ввиду (6.7.61)
.Vurv = - i- ybv* = (6.7.75)
15* 227
Что обеспечивает В совокупности вещественность Средних значений ^ixv при новом определении среднего:
(Фуну Ф+) = Ф+ї^т|Ф = Ф+А^туФ = Ф+тц/^Ф = Фуцл?Ф. (6.7.76)
Ослабленные условия Гильберта записываются так же, как соответствующие условия в электродинамике:
унт v(p = 0, (6.7.77)
фy{+)wt V = O, (6.7.78)
так что в среднем (а этого достаточно для выполнения соответствия с классической теорией) выполняются условия Гильберта в обычной форме:
(Piwv) = O. (6.7.79)
Тогда в фурье-представлении получим
qvy^(q) Ф = 0 (6.7.80)
и, если перейти к системе координат, в которой ось z направлена по вектору q:
Qv = (?о, 0, 0, — g), q = qo, (6.7.81)
условия (6.7.77) и (6.7.78) примут вид
(у(-№ __ у(-№) ф = о, (6.7.82)
¦ф(р(+)ію _ у(+)»з = о (6.7.83)
(одно условие вытекает из другого при эрмитовом сопряжении и использовании оператора ц).
Простой расчет с применением (6.7.82) и (6.7.83) дает
( 0<+)ше у™ - у */<+> у^У =(y (у(+)іі - у{+)п) (У(-)11 - у^) +
+ 2г/<+)12 y^a ), <6.7.84)
так что среднее значение 4-вектора энергии-импульса гравитационного ноля принимает вид
<рэ> = J Jff jH ( y(+)11(q)-y(+)22(q) у<-)и(д)-у(-)22(д) ^
\ 2 2
+ j/(+)12(q)y(-)12(q) У. (6.7.85)
Итак, вклад в энергию свободного гравитационного поля дают лишь следующие компоненты потенциала:
6« = --“-Т^±)22 , = y(±)i2 (6.7.86)
dt
[ср. (6.7^29), (6.7.30)]. Напротив, величина г/11+ г/22, среднее значение которой совпадает со средним значением следа у,
<у> = -<уи + уп), (6.7.87)
не дает вклада в энергию-импульс. Выскажем по этой причине гипотезу:
у(-)ф = 0, фу(+) = 0 (6.7.88)
228
(для свободного гравитационного поля), так что
(у) = 0, (6.7.89)
и поэтому
<уп) = - (угг). (6.7.90)
Ho тогда для реальных гравитонов выполняется соотношение
aw = yw (6.7.91)
(в том же смысле, как подобные соотношения имеют место в электродинамике при введении индефинитной метрики). На основании доказанной не-физичности состояний гравитационного (свободного) поля, соответствующего временно-временным, поперечно-поперечным, поперечно-временным, поперечно-продольным и продольно-временным гравитонам (вклад в энергию-импульс дают только поперечно-поперечные кванты), мы не будем включать эти нефизические состояния в число реальных частиц1, вводя соответствующим образом тензор поляризации гравитонов. Перейдем к вопросу об этом тензоре поляризации (спина), отсылая читателя в связи с деталями метода индефинитной метрики к стандартным курсам квантовой электродинамики и квантовой теории поля.
Ввиду физичности лишь двух видов гравитонов (6.7.86) мы представим гравитационный потенциал свободного поля в системе координат, где ось z направлена вдоль вектора q, как