Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
Ap = р = m0u/]/*l -U2Ic2. (3.71)
Подставив (3.70) іГ(3.71) в (3.69), получим
т0 u/j/1 —U2Ic2 = Е0и/с2,
или
E0 = TTi0C2. (3.72)
63
Тогда в соответствии с (3.22) и (3.29) полная энергия частицы, движущейся со скоростью и, равна
E = E0T — т0 C2Iyr 1 —и21с‘г — тс2. (3.73)
Теперь ясен физический смысл величины E, определяемой формулой (3.31). Энергия E0 в формуле (3.72) называется собственной энергией или энергией покоя частицы.
Таким образом, мы получили общее доказательство знаменитой формулы Эйнштейна [65, 68, 147, 148]
E = тс2, (3.74)
которая утверждает, что любая энергия E обладает инертностью, соответствующей массе Е/с2, и что любую массу т можно представить в виде энергии тс2. Эта теорема об эквивалентности массы и энергии является важнейшим результатом специальной теории относительности. Необходимо заметить, что масса в этой теореме — инертная масса. Однако, как мы увидим в § 8.2, один из важнейших постулатов общей теории относительности — эквивалентность инертной и гравитационной масс. Поэтому энергии E можно приписать и гравитационную массу т, определяемую формулой (3.74).
§ 3.6. Неупругие столкновения. Масса замкнутой системы частиц
Прежде чем приступить к обсуждению экспериментальной проверки релятивистской механики, разберем несколько простых примеров, иллюстрирующих общую теорему об эквивалентности массы и энергии.
Для начала рассмотрим неупругое лобовое столкновение двух глиняных шаров с одинаковыми массами покоя т0, движущихся в инерциальной системе S' — S0 по одной линии навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Полные импульс и энергия в системе центра масс S0 до столкновения равны
P0 = 0; E0 = 2т0 с2 + T0, (3.75)
где T0 — полная кинетическая энергия.
В системе S, относительно которой S0 движется со скоростью и, полные импульс и энергия до столкновения в соответствии с (3.37)и (3.75) определяются выражениями
р = (2т0н- T0Jc2) UlVI-U2Ic2-, (3.76а)
E = (2т0 с2 + Т°)/У I — U2Ic2. (3.766)
При неупругом столкновении оба шара слипаются и образуют один большой шар; по теореме о сохранении импульса этот шар в системе S имеет нулевой импульс и, следовательно, нулевую скорость. Первоначальная кинетическая энергия обеих частиц T0 в S0 переходит в тепло, и по закону сохранения энергии количество образовавшейся тепловой энергии Q0 равно
Q0 = T0. (3.77)
Глиняный шар после столкновения имеет скорость и относительно S и импулье
р -M0U/у I-U2Ie2, . (3.78)
где M0 — масса покоя шара после столкновения. По закону сохранения импульса в системе 5 выражения для р в формулах (3.76а) и (3.78) должны быть
равны. Тогда с учетом (3.77) получим
M0 = 2 m0 + Q0Ic2, (3.79)
т. е. масса покоя M0 шара после столкновения равна суммарной массе покоя обоих шаров плюс масса, эквивалентная тепловой энергии. Энергия шара в си-
64
стеме S после столкновения, в соответствии с (3.77) и (3.79), определяется выражением
E = M0 с2/ VI-Ii1Ici = (2\щ с*+T0)/ VI — U2Ic1 (3.80)
и равна полной энергии шаров до столкновения (3.766), что соответствует закону сохранения энергии в S. Для изменения полной кинетической энергии в процессе столкновения с помощью формул (3.76), (3.79) и (3.77) получим следующее выражение:
Tno-Tnocia = (iggc3 + r°-----2тас2}— M0C2 =L=- _ l \ = Q0. (3.81)
до после Iу{[_иЧсг О J о Iy^u-Zfc-I j Ч \ J
Таким образом, изменение полной кинетической энергии является инвариантом, не зависящим от инерциальной системы, в которой вычисляется кинетическая энергия. Чтобы показать наличие инертности потенциальной энергии, рассмотрим систему 2, состоящую из некоторого количества частиц, удерживающихся вместе благодаря силам притяжения.
Предположим, что существует инерциальная система S', в которой скорости всех частиц малы по сравнению со скоростью света, так что в S' можно с хорошим приближением пользоваться нерелятивистской механикой Ньютона. Пренебрегая типично атомными явлениями, обусловленными существованием планковского кванта действия, мы можем в качестве такой механической системы рассматривать атомное ядро, поскольку элементарные частицы, из которых построены атомные ядра, нуклоны, настолько тяжелы, что их скорости в общем случае можно считать малыми по сравнению с с. Данное предположение означает, что собственные времена отдельных частиц в 2 практически совпадают и равны времени Ґ в системе S' и, кроме того, что силы связи между частицами мгновенны и удовлетворяют третьему закону Ньютона. Если эти силы консервативные, то в системе S' они определяются как градиенты потенциальной функции V', зависящей от расстояния между частицами. В соответствии с механикой Ньютона при движении частиц сумма полной кинетической и потенциальной энергии не изменяется со временем, т. е.
Г + V’ = Н’ = const. (3.82)
Конечно, полная кинетическая энергия в общем случае меняется со временем. Выберем произвольную постоянную в выражении для потенциальной энергии так, чтобы V' = 0, если частицы расположены достаточно далеко друг от друга и силы взаимодействия между ними отсутствуют. Тогда в любом состоянии, при котором частицы связаны, V1 <'' 0.