Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
idy®^
і Ан® uv H®V
th,V
V ®H
Ay ®і0я
-V®H®H
коммутативна.
Положим ® v) = av и Ay(v) = vV ® Для a E H и V E V. Тогда, в соответствии с соглашениями, принятыми в параграфах 3.1 и 3.6, коммутативность приведенной выше диаграммы равносильна равенству
У] a'vv (ax1j)
a'V = E (a"u)
(ax1j)
к
(a"t,)
ff«
(5.2)
в котором а пробегает все элементы из Я, а v — все элементы V. Сформулируем основной результат этого параграфа.
Теорема 9.5.2. Пусть H — конечномерная алгебра Хопфа с обратимым антиподом. Любой левый В(Н)-модуль имеет естественную структуру скрещенного Н-бимодуля. И обратно, любой скрещенный Н-бимодулъ имеет естественную структуру левого модуля над квантовым дублем D(H).
Доказательство, (а) Пусть V — левый ?>(Я)-модуль. Как отмечалось ранее, пространство V является левым H-модулем, а также левым H*-модулем, и эти структуры удовлетворяют соотношению (5.1). Мы хотим показать, что на V можно задать структуру скрещенного бимодуля. 278
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
Для данного базиса Юг в Я и дуального к нему {аг}гЄ/ мы с помощью левого действия алгебры Н* на V определим отображение Ay : V —> V <8 H по формуле
Av(v) = Yaiy ®ai (5-3)
і
для всех V Є V. Покажем, что Ay является правым кодействием H на V. Для этого нужно удостовериться, что отображение Ay коассо-циативно и коунитально. Вместо того чтобы проверять это напрямую, заметим, что Ay является отображением, транспонированным к ассоциативному и унитальному правому действию V* <8 Н* —> V* алгебры Н* на V*, заданному по формуле
{af,v) = (a, Jv)
для всех а Є V*, v Є V п f Є Н*. Действительно, имеем
(а <8 /, Av(v)) = Y Ct(CiiV) f(ai) = і
= (о, (e/kk)^) =
і
= (a,fv) =
так как / = J2i f(ai)a%¦ Кстати говоря, это наблюдение означает, что Ay не зависит от выбора базиса.
Для завершения доказательства того, что V есть скрещенный Н-би-модуль, мы должны, используя (5.1), проверить соотношение (5.2). Ec-лиаєЯ, V E V si f Є H*, то
(id (8 /) ( Y a'Vv ® a"VH) = ® Я (Е а'(a^v) ® a"ai) -
(a){v) (а),г
= Y aV«)/(a"oi) =
(а),г
= Y ГЫ1"(а")а'(а^) = 9.5. Интерпретация квантового дубля согласно теории представлений 279
= E /w(( E/'(a')aI» -
= E /VV(A) =
= E f"(a"")f'(S~Ha'ya')(a"v) = = E f(a""S-Ha"')?a')(a"v) =
(а)
= E e(a"')f(?a')(a"v) =
(а)
= ]T/(?a')(aV) =
(а)
= E /V) А"« =
(а)(/)
= E aV*>)/"(«i)/V) = = EaVM/M') =
(а) ,г
= (id ® /) (Е (а"и) ® ага') =
(а),г (a)(v)
Будучи верным для любой линейной функции /, это равенство влечет (5.2). В предыдущей цепочке вычислений мы использовали формулу для коумножения в Я*, соотношение (5.1), тот факт, что Sr-1 является косым антиподом, что є есть коединица и что / = ^li f(ai)al.
(б) Наоборот, пусть V — скрещенный Я-бимодуль. Покажем, что на V можно задать структуру ?>(Я)-модуля. Заметим, что если V относительно Ду ¦ V —> V ® Я есть правый ії-комодуль, то V становится левым модулем над двойственной алгеброй X = Я*, если в качестве действия взять композицию отображений
я* ® у я*®у®я id^rv-", я*®я®у eVH®idv) У, 280
Глава 9. Квантовый дубль Дринфельда
где evя есть отображение вычисления. Другими словами, линейная
функция / Є Н* действует на элементе v Є V по формуле
/ = (5-4)
W
Отсюда мы видим, что на скрещенном бимодуле имеется левое действие алгебры H и левое действие алгебры Н*. Для доказательства того, что V является D(H)-модулем достаточно проверить, что выполнено соотношение (5.1). Для всех а Є Н, f Є Н* n v Є V мы имеем
Yf(S-l(a'")W) ¦ (a"v) = J2 (f'S~1(a'")(a"v)H a')(a"v)y = (a) (a)(v)
(a)(t>)
= = (v)
= a(f-v).
Второе из равенств получается из (5.2). Третье следует из того, что Sr-1 является косым антиподом. ?
Замечание 9.5.3. Формулу (5.3), определяющую кодействие Ду, можно переписать следующим образом:
ДИі>)=я2і(«®1), (5.5)
где і?2і получается из универсальной Д-матрицы алгебры D(H) применением переставляющего отображения. Мы используем равенство (5.5) в параграфе 17.4 для того, чтобы найти универсальную Д-матрицу алгебры Хопфа Uq(si(2)).
9.6. Применение к случаю Uq(sl(2))
Теперь мы вернемся к алгебре Хопфа Uq = Uq(sl(2)), подробно изучавшейся в главах 6, 7. Используя конструкцию квантового дубля из 9.6. Применение к случаю Uq(s 1(2))
281
параграфа 4, мы хотим показать, что эта алгебра обладает универсальной Д-матрицей. Однако мы привели конструкцию дубля только для конечномерных алгебр Хопфа, каковой Uq не является. Поэтому мы отложим построение универсальной /^-матрицы для Uq до главы 17. Вместо этого будем пока работать с конечномерными фактор-алгебрами Uq. введенными в параграфе 6.5.
Мы предполагаем до конца этой главы, что q является корнем из единицы порядка d в поле к, где d > 1 — нечетное число. Возобновим обозначения из параграфа 6.1. Вспомним о ^-аналогах целых чисел
корректно определенных для всех целых п, и соответствующих <7-фак-ториалах [п]!. Мы имеем [п] ф 0, если 0<n<dn[c(|=0.
В параграфе 6.5 мы определили алгебру Uq как фактор-алгебру алгебры Uq по двустороннему идеалу, порожденному тремя элементами Ed, Fd, Kd — 1. Мы доказали в предложении 6.5.8, что конечное множество [E1FiK^Q^ijj^d-i является аддитивным базисом в Uq. Зададим на алгебре Uq структуру алгебры Хопфа.
