Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тягорения - Иваницкая О.С.
Скачать (прямая ссылка):
Обобщая понятие этих условий, назовем калибровочным условием Ламе требование равенства нулю некоторой компоненты обобщенных коэффициентов Ламе:
AiA=Ve* = 0. (17-1)
т. е. требование ортогональности вектора лоренцева орто-репера |і-й координатной линии. В общем невырожденном случае требуется шесть калибровочных условий. Весь полный набор из шести калибровочных условий может быть составлен из калибровочных условий Ламе. Калибровки Ламе могут составлять лишь часть полного набора калибровок, могут использоваться в сочетании с другими калибровочными условиями.
Назовем классом калибровок Ламе множество полных и неполных наборов калибровочных условий вида (17.1), позволяющих вместе с системой (13.5) или (13.6) отыскать соответственно все или часть остальных еще не известных коэффициентов Ламе. Все эти калибровки объединяются в класс общим для них требованием касания (ортогональности) единичных векторов к соответствующим координатным линиям.
Само по себе условие ортогональности е^ и е^ имеет формальный геометрический смысл, но им можно выразить и физические свойства — характер движения, симметрию поля тяготения и др. Очевидно, калибровки Ламе наиболее просты в математическом отношении, а потому и наиболее удобны. Они обусловливают после присоединения к системе (13.5) весьма простую и характерную ее структуру. Поэтому класс калибровок Ламе — самый употребительный из классов калибровочных условий тетрадной формулировки ОТО. Рассмотрим его, следуя работам [545, 564], которым предшествовала работа [563].
17.2. Полные наборы класса Ламе (3+2+1)-структуры.
Предположение det к^Ф0 допускает одновременное обращение в нуль не более трех коэффициентов Ламе в одной строке (столбце) матрицы Ламе (hД. В зависимости от их структуры наборы имеют разные границы применимости: могут быть совместны С системой (13.5) не При Произвольном выборе gVv, а лишь при некотором специальном подборе значений g^v, могут быть пригодны только при определенном выборе координатных условий и лишь в некоторых областях 4-пространства ОТО, могут в своем составе содержать или не содержать авто-
182 номные неполные наборы и т. д. В частности, полный набор калибровок Ламе
А0° = 0, /i/o) = /ц(2) = Al(s> = о (17.2)
(3+3)-структуры совместен с уравнением goi = h0khik = Zi0(0>Zi1(0) системы (13.5) лишь в случае, когда ^0I=O- Например, полный набор вида Л0(2) = А0<3) = 0, A1(O)=Zi1W=O, h{20) = h{2l)=0, имеющий (2+2+2)-структуру, выступает только в делом—входящие в него неполные наборы из двух калибровок Ламе не выделяют из (13.5) автономной подсистемы. Так, подсистема из двух уравнений (13.5), содержащая goi и g00, включает в себя при таком наборе 3 неизвестные компоненты ZilA подсистема из 4 уравнений, содержащих g^o» — 7 неизвестных компонент Hpk и т. д.
Среди полных наборов класса Ламе особо выделяются наборы (3+2+1)-структуры. Они совместны с системой (13.5) при произвольном выборе решений g^v эйнштейнова уравнения тяготения, а составляющие их неполные наборы (3) -структуры и (3 + 2)-структурны автономны. Для таких наборов можно применить следующую символическую запись, которая детализирует символику, предложенную в работе [563], естественно приспосабливая ее к тетрадному формализму.
Символом HiIl ^обозначим п калибровочных условий Ламе, требующих равенства нулю п коэффициентов Ламе в |лгстроке матрицы Ламе, позволяющих найти вместе с частью уравнений системы (13.5), самостоятельно или после использования другого набора калибровок, все коэффициенты, расположенные в &і-столбце матрицы (АД). Индексы juli и ki — произвольны, но фиксированы. Поскольку /г^З, наборы из большего числа условий задаются последовательностью нескольких символов. Рассмотрим, следуя работам [545, 564], некоторые характерные примеры полных наборов калибровок из класса Ламе (3+2+1) -структуры. Первый из них употребляется в тетрадной формулировке ОТО особенно часто.
17.3. Канонический набор. Его можно задать символом 3(00) 2і(1)І22), согласно когорому
Zi0* = 0, Zi1* 2> = A1W = 0, AaW = 0. (17.3)
При таких условиях система (13.5) имеет следующую струк-туру:
&о = У0)Ао<о>> (17.4)
(Ы(о) = ?м - У0) Ако) = У4) Kit), (17.5)
(&а)(о) — &2 - У0) A2(O) - A11(I) A2t0 = у А2(2), (17.6) (йа)(о) = У3) Ыг)> (17.7)
183 где в левых частях уравнений введены усеченные метрические тензоры, например (g^v)(0) = ^v — У °> Av(0> = g?V — g^gvo/goo-Подсистема (17.4) автономна. Соответственно находим
h (0) = у Z1 (1) = (gixi)(o) _ ?
V—goo ' 11 V (Sii)(O)
^(2) = -(ftx 2)(01) у = _(Ы(012) в
K(^)(Ol) К(&3з)(012)
Если g^v = 0 При (X ^= V, то
IilJk = diag(v^—goQ, V~g7a)'
Каждый из комплектов решений, входящих в (17.8), позволяет соответственно найти квазикоординаты dx(°\ dx^\ dx^\ dxW.
Любой из полных наборов (3+2+1)-структуры можно переписать в другом порядке, группируя условия не по строкам, а по столбцам. Например, набор (17.3) можно переписать в виде
А0<3> = /it(3) = /J2(S) = о, A0(I) = /ц(«> = о, A0(I) = 0. (17.9)
При такой форме записи неполным набором достаточно сопоставить символ с одним индексом — пт, поскольку группировка наборов по столбцам позволяет выразить отличные от нуля компоненты hxm в т-столбце через усеченные метрические тензоры с помощью калибровочных условий, отнесенных к этому же m-столбцу. Учитывая, что при рассматриваемом наборе калибровок (?цо)(і2з) = ?цо> (^1)(023)=(^1)(0), (?мО<оіз)=(йТмО<оі), рационально при решении системы (13.5) использовать неполные наборы, содержащиеся в условиях (17.3), в обратном порядке, начиная со столбца, в котором не задан ни один из неполных наборов. Тогда
