Курс теории вероятностей - Гнеденко Б.В.
Скачать (прямая ссылка):
А. Муавр воспринял классическое определение вероятности, данное Бернулли, и вероятность события определил почти в точности так, как это делаем мы теперь. Он писал: ’’Следовательно мы строим дробь, числитель которой будет число случаев появления события, а знаменатель - число всех случаев, при которых оно может появиться или не появиться, такая дробь будет выражать действительную вероятность его появления.” После этого определения Муавр привел в точности пример, о
§ 8. Понятие геометрической вероятности
405
котором мы упоминали при рассказе о вкладе Бернулли, а именно: ’’если какое-то событие имеет 3 благоприятствующих шанса, 2 неблагоприятствующих, дробное выражение 3/5 будет точно говорить о вероятности его появления и может рассматриваться как ее мера” (’’Доктрина шансов”). Обратим внимание на то, что Муавр, как и Я. Бернулли, не оттенял то обстоятельство, что шансы должны быть равновероятными. Это замечание впервые было введено в определение классической вероятности лишь П. Лапласом в его ’’Аналитической теории вероятностей”. Лагранж об этом еще не задумывался и давал определение вероятности в точности по Муавру. По-видимому, на Лапласа повлияла дискуссия, начатая Д’Аламбером. который при решении-задачи о вероятности выпадения (при бросании двух монет) герба на одной из монет и решки - на другой, определил ее равной 1/3. Это он мотивировал тем, что имеются лишь три возможности: 1)на обоих монетах выпадает герб; 2) на обоих монетах выпадает решка; 3) на одной монете выпадает герб, а на другой - решка.
§ 8. О формировании понятия геометрической вероятности
Уже в первой половине XVП1 века выяснилось, что классическое понятие вероятности имеет ограниченную область применений и возникают ситуации, когда оно не действует, а потому необходимо какое-то естественное его расширение. Обычно считают, что таким толчком послужили работы французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (1707-1788), в которых он сформулировал знаменитую задачу о бросании иглы на разграфленную плоскость и предложил ее решение. Это утверждение требует поправки, поскольку исторически оно неверно. Дело в том. что задолго до рождения Бюффона появилась работа, в которой фактически уже был поставлен
¦ вопрос о нахождении геометрической вероятности. Правда, в ту пору еще не было и определения вероятности.
В 1692 г. в Лондоне был опубликован английский перевод книги X. Гюйгенса ”0 расчетах в азартных играх", выполненный Д. Арбутнотом (1667-1735). В конце первой части переводчик добавил несколько задач, среди которых была сформулирована задача совсем иной природы, по сравнению с теми, которые были рассмотрены великим автором. Он назвал эту задачу трудной и поместил ее в дополнении ’’для того, чтобы она была решена теми, кто считает такого рода проблемы достойными внимания”. Задача, предложенная Арбутнотом, состоит в следующем: на плоскость наудачу бросается прямоугольный параллелепипед с ребрами, равными а, Ь, с. Спрашивается. как часто параллелепипед будет выпадать гранью ab1.
Сам Арбутнот не сделал даже попытки решения придуманной им задачи. Это было осуществлено значительно позднее Т. Симпсоном (1710-1761) в книге ’’Природа и законы случая” (1740), где задача была приведена под номером XXV11.
Идея решения, предложенная Симпсоном, состоит в следующем: опишем около параллелепипеда сферу и спроектируем из центра на поверхность ее все ребра, боковые грани и основания. В результате поверхность сферы разобьется на шесть непере-секаюшихся областей, соответствующих граням параллелепипеда. Далее Симпсон написал: "Нетрудно заметать, что определенная часть сферической поверхности, ограниченная траекторией, описанной таким образом радиусом, будет находиться в таком же соотношении к общей площади поверхности, как вероятность появления некоторой грани к единице”.
В том, что было только что сказано, в полной мере заключены принципы разыскания геометрических вероятностей: вводится мера множества благоприятствующих событию случаев и берется ее отношение к мерс множества всех возможных случаев. В нашем случае полная мера сводится к площади поверхности шара. Заметим, что Симпсон ни слова не сказал о физической интерпретации решения. Ведь для того, чтобы параллелепипед упал на плоскость определенной гранью, необходимо, чтобы его
406
Гл. 2. Период формирования основ
центр тяжести находился над ее проекцией на плоскость падения. Однако в решении Симпсона это требование соблюдено.
Введем для дальнейшего обозначения: R2 = а2 + Ь2 + с1, РаЬ. /%., Рса - вероятности выпадения на какую-то определенную грань соответственно a b, Ьс, са. Вероятности выпадения на какую-то из граней ab (соответственно Ьс и са) должны быть увеличены вдвое. Формулы, о которых идет речь, должны быть таковы:
\ ab 1 be 1 ас
Раь = — aictg— , Рьс= — arctg — , Рса = - arctg — . п cR п aR я bR
Бюффон дважды публиковал работы, посвященные геометрическим вероятностям. Первая его публикация на эту тему относится к 1733 г., когда он сделал в Парижской академии наук.доклад, напечатанный под называнием "Мемуар об игре франк-карро” (Мемуар об игре прямо в клетку). Позднее, в 1777 г. этот мемуар был целиком включен в "Опыт нравственной арифметики”, являвшейся дополнением к тому IV его ’’Естественной истории”.