Теоретическая физика и астрофизика - Гинзбург В.Л.
Скачать (прямая ссылка):
divj + -^ = 0. (6.2)
Система (6.1), как известно, становится достаточно определенной, лишь если выразить D через E (или в принципе через Ей Н). В изотропной среде без пространственной и частотной дисперсии
D (г, t) = e(r, /)Е(г, t). (6.3)
Если среда однородна в пространстве и неизменна во времени, то є = const. Пространственная дисперсия для оптических и более низких частот обычно мала и сейчас учитываться не будет. Частотная же дисперсия, вообще говоря, всегда более или менее существенна. Это значит, что для изотропной среды
t
D (г, 0= \ є (г, t, t') E (г, t')dt', (6.4)
-oo
где интегрирование по t отражает требование принципа причинности; если свойства среды не меняются со временем, то ядро є (г, t, Ґ) =є(г, /—t'). Тогда, вводя компоненты Фурье
E (г, со) = J E (г, t) ехр (Ш) dt,
(6.5)
E (г, /) = ^E (г, со) ехр (— Ш) d®,
— оо
и аналогично для D, получаем
OO
D (г, ю) = є (г, ю) E (г, ю), є (г, со) = ^ є (г, т) ехр (шт) dr. (6.6)
о
В однородной среде є (г, со)= є (со). В анизотропной среде (без пространственной дисперсии и в случае независимости свойств среды от времени)
Di (г, со) = ги (г, со) Ej (г, со), (6.7)
106где є,у — тензор второго ранга и, как всегда, предполагается, что суммирование производится по дважды встречающимся индексам.
При использовании связей (6.6) или (6.7) нужно, естественно, и в (6.1) перейти к представлению Фурье. Но это не всегда удобно, поскольку, например, в используемом ниже га-мильтоновском методе явно фигурируют производные по времени. Вместе с тем оказывается, что при применении гамильтоновского метода можно, вообще говоря, сначала совсем не учитывать частотную дисперсию (т. е. зависимость є ,у или є от со), а затем в окончательном результате заменить показатель преломления п (в изотропном случае п =Ve) на я (ш) и тем самым полностью учесть частотную дисперсию. На этом мы еще остановимся ниже в данной главе, но в остальном в уравнениях поля будем полагать е = const (или є,/ = const), что непосредственно относится лишь к однородной среде без дисперсии. Кроме того, считаем величину є вещественной и положительной (отсутствие поглощения и полного внутреннего отражения; см. также ниже).
Вводя о,бычным образом потенциалы
из (6.1) для изотропной среды получаем
AA-grad (±^L+divA)
Acp + ii-divA Если использовать связь (калибровку)
4ivA + ||f = 0.
ТО
» , є <?2А 4jt . . є 32<p
ДА-^^r=-— j, Лф--^^
Для калибровки div A = O получаем
. , є д2А 4я . . є , oqp .
и
E = E<r + Ez, divEtr = 0, Егг = -44г- Е
Гамильтоновский метод в электродинамике сплошных сред развивается вполне аналогично тому, как это делается для вакуума (см. гл. 1). Именно, будут использоваться выражения
= rot А,
(6.8)
4jt . An
(6.9)
(6.10)
= -^9. (6.11)
p^_±Lp (6.12)
gradcp. (6.13)
107(6.12), (6.13) и разложения (считаем, что є ф 0)
A = Yj ЯиКи Am = У8я ^el cos (кЛг), І, І = 1,2
Aw = VSn -J- ех sin (кхг), efckfc = 0, ех=1, п= л/7. \ AxiAlll dV
Anc2 . . -j- бадб<7>
(6.14)
или
А = Z fa А + я1К)> aX = V4h ^e, ехр (г\г). '
eA = 0'
vT. S
A, A* Cfl7 = 4л;-— б..
Л Д g AU
(6.15)
Разумеется, оба разложения эквивалентны; в разных случаях несколько удобнее применять то или иное из них. Некоторые оговорки, сделанные в гл. 1, например, касающиеся наличия двух векторов поляризации е^, относятся и к разложениям (6.14), (6.15).
Как легко убедиться, энергия поперечного поля
*tr - S dV=v2 E (p'i+"iih)=S {РьРі+aM),
X, і к
(6.16)
где
Pu = Рг.= Чк>
— k\!
Є Л
— h2 „2 «А,-
(6.17)
Далее, уравнения движения для или q\ получаются из (6.12) так же, как в случае вакуума, и имеют вид
Я и + КЯи = T S ikudV1
+ T J lKdV-
(6.18) (6.19)
Наиболее общий случай, рассматриваемый ниже, отвечает частице с зарядом е, электрическим моментом р(^) и магнитным моментом n(t). При этом, если частицу можно считать точечной, что обычно допустимо при вычислении излучаемой энергии и вообще поля излучения, то
j = PeV + с rot + =
= evo (г - г,) + с rot {цб (г - Гі)} + ~ {рб (г - г,-)}, (6.20)
108(6.21)
где г, (0—радиус-вектор частицы и v = ri(t). Для заряда (в отсутствие моментов, т. е. полагая в (6.20) р = 0 и ц = 0), получаем из (6.18), (6.19)
Ьл + КЯм = VS^ (eAv) cos (kAr(), j
Чи + = Vs^ - <ЛУ) sin (KrІ), J
Як + tffli. = V^" j (efcv) ехр (- IkxTi). (6.22)
По сравнению со случаем вакуума здесь не столь важно появление дополнительного множителя 1/rt в правых частях, сколько изменение связи он C kl, т. е. появление множителя є-1 = п~2 в соотношении = (с2/п2) k\ (см. (6.17)). Смысл такой замены очевиден — электромагнитные волны в среде с вещественной проницаемостью є > 0 распространяются с фазовой скоростью
№.23)
Этот результат, несомненно, известен читателям, но все же напомним, что он непосредственно ясен из однородных уравнений (6.11) или (6.12), т. е. из уравнений без зарядов и токов. Так, например, (6.22) в этом случае представляет собой уравнение свободных колебаний осциллятора