Теория твердого тела - Давыдов А.С.
Скачать (прямая ссылка):
положения равновесия.
При длинноволновых акустических колебаниях ионы, входящие в состав одной
элементарной ячейки, смещаются одинаково, ее электрическая нейтральность
не нарушается и в колебаниях участвуют только упругие силы. Поэтому
акустические колебания в ионных кристаллах существенно не отличаются от
акустических колебаний атомов в ковалентных кристаллах. Однако оптические
колебания, связанные с относительным перемещением электрически заряженных
ионов, обладают рядом особенностей.
Рассмотрим для простоты кристаллы кубической сингонии,. содержащие по два
иона в элементарной ячейке. К таким кристаллам относятся NaCl, CsCl, ZnS
и др. Будем исследовать только длинноволновые (ka 1) элементарные
возбуждения. Отно-
сительно таких возбуждений кристаллы кубической сингонии изотропны. При
исследовании длинноволновых возбуждений кристалл можно рассматривать как
непрерывную среду и использовать макроскопическое описание. Такая
макроскопическая теория длинноволновых оптических колебаний в ионных
кристаллах была развита впервые Хуаном Кунем [8].
Оптические длинноволновые колебания в ионных кристаллах, содержащих по
два иона в элементарной ячейке, соответствуют смещениям /?+ - /?_ решеток
положительных ионов относительно отрицательных. Такое относительное
движение характеризуется
60
ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ
[ГЛ. III
приведенной массой m = . Если а -объем элементарной
ячейки, то р = т/v - плотность приведенной массы. Введем далее вектор
смещения
' ' (11.1)
Тогда плотность кинетической энергии относительного движения ионов
(11.2)
а плотность потенциальной энергии упругих сил
UeX = ~Q%*. (11.3)
В ионных кристаллах наряду с упругими силами F= - Q2|, пропорциональными
смещениям, играют существенную роль электрические дальнодействующие
взаимодействия между ионами. Смещения ионов из равновесных положений
создают электрическую поляризацию, последняя вызывает появление поля,
которое в свою очередь взаимодействует с ионами. Удельная поляризация Р
обусловлена как смещением ионов, так и внутренней поляризацией ионов
(смещение электронов относительно ядер) под влиянием электрического поля.
Поэтому в общем виде можно написать
Р - Y12H- У22Е, (И-4)
где Via и Y22 - параметры, которые ниже будут выражены через
непосредственно измеримые величины. Плотность потенциальной энергии,
связанная с поляризацией, будет определяться выражением
Е
Up=-§ PdE=~(y12lE+ yY*"^2). (11.5)
о
Складывая (11.3) и (11.5), получаем плотность полной потенциальной
энергии
U=~(Q%*-2y12El-y22E>). (11.6)
Из выражений (11.2) и (11.6) следуют уравнения движения
1 = + (11.7)
Часть удельной поляризации, обусловленная только внутренней
поляризуемостью ионов, равна
Р 00 - Y22 Е.
(11.8)
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ВЕТВЕЙ
61
С другой стороны, эту же величину можно определить формулой
= (11.9)
через диэлектрическую поляризуемость кристалла Вы при частотах, меньших
частот собственных колебаний электронов в ионах Ю15 сек1), но больших
частот колебаний ионов (~ 1013 сект1). Сравнивая (11.8) и (11.9), находим
Yn=^v . ' (ИЮ)
Для определения второго, параметра у1г в (11.4) и (11.6) примем во
внимание, что в статическом поле Е0 согласно (11.7) ионы смещаются, на
величину |0 = Yi2?o/Q". При этом согласно (11.4) возникает удельная
поляризация
Ро = (Yis/^2 "h Y22) Eq.
Сравнивая это значение с удельной поляризацией, выраженной через
диэлектрическую поляризуемость е0 в статическом поле
П Е0 1 р
s п7^кГ'?о' получаем при учете (11.10)
Y12 = Й (е9 - 8оо)/4п. . (11.11)
Исследуем теперь собственные длинноволновые оптические колебания ионов
(т. е. колебания без внешних сил), соответствующие определенному значению
k (1ш<^ 1). В изотропной среде такие колебания подразделяются на
продольные |;||Л-и поперечные _1_ k. Если не учитывать
запаздывания взаимодействия,
переносимого поперечным электрическим полем Et, то при поперечных
колебаниях ?( = 0 и уравнение движения
|,+ Й21, = 0, = ?2< = Q. (11.12)
Таким образом, частота собственных поперечных колебаний ионов (без учета
запаздывания взаимодействий) определяется
только упругими силами.
Для продольных колебаний ионов векторы |г, Р{ и Et параллельны и
уравнения (11.4) и (11.7) принимают вид
Pi - Yl2iz + Y22?j> (11.13)
I; + - Y12 Et = 0. (11.14)
Средняя плотность электрических зарядов в кристалле равна нулю, поэтому
div (Е-\- 4л/3) = 0. Для продольных составляющих из этого равенства
следует
Et + 4nPt = 0.
(11.15)
62 ФОНОНЫ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. ш
С помощью (11.13) и (11.15) можно исключить из (11.14) продольное поле Ei
и получить уравнение собственных продольных колебаний ионов
Ь + = 0, & = §}•'ехр(-Ш,/), (11.16)
где
flf = Qf + Q?
' 1 1 1+4яу|3 ею
- квадрат частоты продольных колебаний.
Итак, частоты длинноволновых продольных и поперечных собственных
колебаний ионов связаны простым соотношением
(11Л7)
В табл. 4 приведены значения Q/, е0 и для некоторых ионных кристаллов.
Таблица 4 Частоты поперечных колебаний ионов в кристаллах
