Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений - Беркович Л.М.
ISBN 5-93972-154-0
Скачать (прямая ссылка):
X +a0(t)x = 0. Преобразованием Куммера-Лиувилля
х=х\Х, y=xiY, ds=dt/x\, система (3), (4) приводится к автономному виду
d2X = J_f(l\\ ds2 ХзПХ>'
d2Y = J_ ,Xs ds2 Y*9KYh
который был получен в работе (Athorne [249]). Частными случаями системы (3), (4) являются системы, рассмотренные в работе (Athorne [246]) (правые части уравнений (3) и (4) имеют соответственно вид ?x~3 —аху~А и 5у~3 — ^iyx~ ) и в работе (Athorne [248]) (правые части уравнений (3) и (4)
имеют соответственно вид Щ-х2у~ъ и —-^-ху~4).
О о
Более общей, чем (6), (7), является нелинейная неавтономная система, рассмотренная в работах (Reid, Ray [391], Lutzky [360, 361])
X + ai(t)x + ao(t)x = ^ 0f(%), <k> = к2/в2, к = const, х2ув
1 У f
У + ai(t)y + a0(t)y = 2 2g(x), O = exp(2 / ai(t)dt).
у Xu J
Она приводится подстановкой ds = \dt к автономному виду
в
248 ГЛАВА 4
у/х х/у
-в2(ху — ух)2 + / f(u)du— / g(u)du = I.
Эквивалентная система Ермакова рассмотрена в работе (Reid, Ray [391]). Теорема 1. Пусть дана неавтономная система
X +ai(t)x + a0(t)x = af(t)xmynF(^- -^),
v{t) v{t)
У +ai{t)y + a0(t)y = bf{t)xnymG(^-r,
v(t) v(t)
(10)
(H)
(13)
1) Если соответствующая линейная однородная система
і +а\(і)х + a,o(t)x = 0,
У +ai(t)y + a0(t)y = 0 приводима преобразованием KJI
X = v(t)X, у = v(t)Y, dT = u(t)dt (12)
к автономному виду
( X" + ЪгХ' + Ъ0Х = 0,
1 Y" + biY' + boY = 0, (')= d/dT, и при этом выполняется условие
f(t) = V1^-11U2, (14)
то (10) преобразованием (12) приводится к автономному виду ( X" + ЪгХ' + Ъ0Х = aXmYnF{X, Y)
\ Y" + biY' + b0Y = bXnYmG(X, Y);
2) Если линейная система (11) приводится заменой (12) к і
( X" + ъ0х = о
1 Y" + b0Y = 0,
и допускает первый интеграл
6. Системы Ермакова
249
причем
F = F(YfX), G = G(XfY)1 f(t) удовлетворяет (14), а показатели тип связаны соотношением
т = —(п + 3),
то (10) представляет собой обобщенную систему Ермакова и имеет первый интеграл
• Доказывается непосредственным счетом. •
Теорема 2. Пусть преобразование KJI (12) выбрано так, что система (10) приводится к автономной форме
/=іЄхр(2 / U1 (t)dt)(ху - ух)2 + a / un+1F(u)du + b / и'
un+1G(u)du
G(XfY)7 Ъ = const.
Тогда система (10)
1) содержит функцию f(t) вида
fit) = и
(™+„+3)/2ехр(
т + п — 1 2
/
сії dt),
где u(t) удовлетворяет уравнению КШ-2
1U Ъ (й\ , г, 2 1 2 1 •
2й-1\-) +b°u = ао - ^a1 --аг,
2) (10) допускает генераторы точечных симметрии
X = h§i + Ш(х§-Х + УЩ)> - = «-1/2exp(-l/2 jai(t)dt),
или в другом виде
250 ГЛАВА 4
где ? (t) удовлетворяет самосопряженному линейному уравнению 3-го порядка
е'+4ЛЄ + 2АоЄ = 0,
a Aq = ciq — ^a2 — ^a1 — семиинвариант линейной системы (11); 3) допускает алгебру Ли с генераторами вида
X1 = exp(J aidt)[x\(t)^+х^х^х^+у ^-)\,
X2 = ехр( у ai^)[xi(i)a;2(t)^ + i(xi(i)i2(i)+x2(t)ii(t))(a;^+y^)],
X3 = ехр(У aidt)[xl(t)^+x2(t)x2(t)(x?+yfL)],
ж2 (і) — линейно независимые решения любого из уравнений системы (13)), допускающими представление алгебры Ли sl(2, R):
[X11X2]= X1, [XbX3]= 2X2, [X21X3]= X3. (15)
• Докажем 3-ю часть теоремы (1-я и 2-я части теоремы доказываются непосредственным счётом). Коммутатор [Xj, Xk] примет вид
\хг,хк] = Ык-Ш^ + \ШЬ -6 6)-аі(^-ШК^+у|-),
где Xi = ^(t)^ + i(?j-ai^)(x^+yj^), так как справедливы следующие соотношения для инфинитезимальных операторов
Xi=^(t,x,y)fL+m(t,x,y){x^-+y-^) :
[X1,хк] = (X1(Ck) - + (Xi(TIk) - Xk(m))(xjL + у JL)
(для сравнения см. формулу (4.15)). В результате придем к (15). •
Замечание 1. Метод автономизации, разумеется, применим и к автономным системам.
Пример 1. Рассмотрим систему Ф. Калоджеро вида
Xk = 2Ь^^(хк — xj)~3 — Ci2Xk, к = 1, п. (16)
6. Системы Ермакова
251
В обзорной статье (Мозер [184]) сказано, что согласно наблюдению А. М. Переломова (Perelomov [382]) система (16) заменой хк = = CCOS(ItXk(T), T = tg(at) сводится к случаю а = О, Ъ = 1. В этом можно убедиться непосредственно. Однако применим наш метод автономизации.
Линейная часть нелинейной системы (16) имеет вид
Хк + CL2Xk = 0. (17)
Система (17) преобразованием КЛ вида
хк = v(t)Xk(r), сіт = u(i)dt, к = ї~п (18)
приводится к Xj!(т) = 0, если выполняются условия
^ = а2, V + Ci2V = 0, (u = uv~2), и = const. Возьмем
V = cos at, и = 1, откуда и = —^— (19)
cos at
Тогда система (16) преобразованием (18), (19) приводится к виду
VU2XZ(T) = 2bv-3 J2(Xk - X3)-3.
В силу связи между они система (19) примет вид
Х1(т) =2Ъ^{Хк- X3)-3. (20)
От (20) масштабным преобразованием по любой из переменных (т или Хк) очевидным образом придем к случаю 6 = 1.
Упражнение 1. Показать, что уравнение типа Пенлеве
У" ± ху = у3 (21)
преобразованием КЛ не может быть приведено к автономному виду. Упражнение 2. Пусть дано уравнение
у" + а0(х)у + руп = 0, р = const ф 0. (22)
Какими должны быть коэффициент GSo(^) и показатель п, чтобы (22) преобразованием КЛ привести к автономному виду?