Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5. Представления ортогональных групп SO (п, С), SO (р, д), SQ* (п) и SOfaJ
Определяющим представлением ортогональной группы SO (п, С) является множество всех линейных унимодулярных преобразований, сохраняющих квадратичную форму
Zl+22-I-----I-Zn-
Однако для наших целей более удобно реализовать SO (п, С) в виде группы унимодулярных линейных преобразований, сохраняющих форму
z1zn + z2z^1 H-----I-zrtz1. (1)
Над полем комплексных чисел обе формы совпадают. Каждый элемент g ? SO (п, С) удовлетворяет условию
О S
о 1 go = (gT) \ где а =
S О
J-
(2)
О О
. О
г
о
0 1... о .1 о. . . 0.
В реализации (1) разложение Гаусса группы GL (п, С) индуцирует соответствующее разложение Гаусса группы SO (п, С), т. е.
so (я, С) = ЗоАЛ.
(3)
где Зо, D0 и Z0 — пересечения SO (п, С) с подгруппами 3» D и Z группы GL (п, С) соответственно. Конечномерные представления групп Jlu
269
Группа SO (2п + 1, С) двухсвязна, a SO (2п, С) — четырех-связна (см. гл. 3, § 7, Д). Следовательно, можно ожидать, что SO (п, С) имеет также и многозначные неприводимые представления. Это является отличительной чертой теории представлений ортогональных групп. Например, четырехмерное уравнение Дирака можно рассматривать как прямое следствие существования дополнительных спинорных представлений ортогональной группы SO (4, С).
Полная ортогональная группа О (п, С) состоит из двух связных компонент O+ (n, С) и О" (п, С), элементы которых удовлетворяют условиям det ^ = — 1 соответственно. Следовательно, исходя из произвольного элемента о в О", можно получить все остальные элементы из О" путем применения левого или правого сдвига на элемент g ? O+. В качестве элемента о можно взять матрицу о = —е в случае нечетного п или 2v X 2v-MaTpHny
1 • О
1
О:
1
0 1
1 о
о
1
1
(4)
в случае четного п, п = 2v. Матрица (4) соответствует перестановке координат zv и zv+1. В обоих случаях имеем о2 = е.
Ясно, что группа SO (п, С) = O+ (п, С) является нормальной подгруппой в О (п, С). Это, в частности, означает, что отображение
S-* 8 = ogo~
(5)
оставляет подгруппу SO (п, С) инвариантной. Внешний автоморфизм (5) группы SO (п, С) будем называть зеркальным автоморфизмом, а соответствующее преобразование о — зеркальным от- 270
Г лава 5
ражением. Используя явный вид подгрупп Зо. D0 и Z0, нетрудно проверить, что зеркальный автоморфизм оставляет эти подгруппы инвариантными. Следовательно, разложение Гаусса g = ?6г переходит в соответствующее разложение Гаусса элемента g.
Матрица б ^ D сохраняет форму (1), если в ряду бь б2, ..., 6V, ov+i, ..., 6„_1, б„ симметрично расположенные элементы взаимно обратны (т. е. 6? = б^1, 62 = бйіі и т. д.). Следовательно, как в случае четного п (п = 2v), так и в случае нечетного (n = 2v + 1), в качестве независимых матричных элементов матрицы б ^ D0 мы имеем только числа S1, б2, ..., 6V. Таким образом, всякое одномерное комплексно-аналитическое представление L подгруппы D0 имеет вид
JlEMMA і . Если T — неприводимое представление группы SO (2v, С), соответствующее старшему весу т = (тх, т2, ...,
mv), то зеркально-сопряженное представление Tg = T^ соответ-
g
ствует старшему весу
Если п = 2v -f- 1, то каждое неприводимое представление является зеркально-самосопряэн енным.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку отображение g -*g сохраняет структуру подгрупп Зо. D0, Z0, достаточно найти образ характера L6. Если п четно (п = 2v), то все параметры бг остаются без изменения, за исключением параметра 6V, который переходит в ov1. Если п нечетно, то о = —е и б не изменяется.
Следующая теорема дает классификацию всех комплексно-аналитических неприводимых представлений группы SO (п, С).
Теорема 2. Группа SO (п, С) обладает двумя сериями комплексно-аналитических неприводимых представлений. Каждое представление первой серии определяет и в свою очередь определяется старшим весом т = (mlt m2, ..., mv), компонентами которого являются целые числа mh удовлетворяющие условиям
1° для п = 2v: Zn1 > m2 > • • • > mv_t >- | mv |,
2° для n == 2v -j- 1: гщ>> m2>- • • • > mv_t > mv > 0. ^
Каждое представление второй серии определяет и само определяется старшим весом т = (тг, т2, ..., mv), компонентами ш,-которого являются полуцелые числа, также удовлетворяющие условиям (8).
6->L? = 6J"'6f2 ... бvv.
(6)
т = {тъ т.г, . . ., mv_u —mv).
(7) Конечномерные представления групп Jlu
271
доказательство. Случай п = 2v. Пусть G0 — подгруппа в SO (2\, С), состоящая из всех матриц вида
ё О
О g J
SL (v, С),
О)
где g = S"1 (gr)_1 5. Ясно, что G0 изоморфна SL (v, С). Если характер Lm подгруппы D0 является индуктивным относительно SO (2v, С), то его сужение на G0 индуктивно относительно G0. Отсюда ввиду (13) получаем
Hi1 > т2 >
> mv_! > mv
(10)
где mt — целые. Повторяя эти рассуждения для зеркально сопряженного представления, получаем
Hl1 > пц
-т.
(И)
Кроме того, с помощью (3.13) мы находим, что оба числа mt — mv и Ini -I- mv
