Теория представлений групп и ее приложения. Том 1 - Барут А.
Скачать (прямая ссылка):
TLgu (Z) = L1U (z~) = фг + б Г U (1?) . (24) Конечномерные представления групп Jlu
259
Остается лишь определить число т. Ввиду следствия 3 пространство Hl (Z) представления натягивается на векторы
% (г) = Li = (?z + 6)» (25)
где ?HO принимают все значения, допустимые для элементов g из SL (2, С). Таким образом, пространство Hl (Z), в частности, содержит все сдвиги
и, (*) = (*+ «*)"•
Поскольку Hl (Z) конечномерно, существует число г > 1, такое, что произвольный набор г -f 1 функций является линейно зависимым. Следовательно, определитель
U1(Z) U2(Z) ••• ur+1(z)
u\(z) rn(z) ••• Ur+1 (z)
Д (z) =
и!0 (г) uir) (z)
X (Z)
тождественно равен нулю. Здесь
0-
«Г> (г) =
dzs
и, (z)
Полагая z
6 т 1
д(0):
где
___1 / д
дг ~~ 2 \ дх
О, получаем
?«' к'
02 • • • о,
— 1
д ду
тб"1-1 тбі
т-1
тб!
u/-+1 т-1
г+1
¦ тТ(т— 1)
,г-1
(т—г-1- 1)[бхб2
№ (б) = п (б, - б ).
Ki
Всегда можно выбрать числа б,- ф О и такими, что все они различны. Тогда если т неравно ни одному из чисел 0, 1, ...,г — !,то A (q) Ф 0. Следовательно, только неотрицательные целые числа т = 0, 1, 2, ... задают индуктивные комплексно-аналитические характеры L вида (23). Для целого т > 0, согласно (25), пространство представлення Hl содержит все одночлены 1, z, г2, ..., Zm її натягивается на них. Таким образом, имеется
теорема 5. Всякое комплексно-аналитическое неприводимое представление SL (2, С) определяет и само определяется целым 260
Г лава 5
числом т > 0. Оно реализуется согласно формуле (24) в пространстве Hm (Z) всех полиномов степени, не большей, чем т.
Мы имеем также комплексно-антианалитические неприводимые представления T^, индуцированные характером
L6 = б*. (26)
Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что п снова должно быть неотрицательным целым числом. Представление g Tg задано в пространстве Hn (Z) полиномов от переменных 1, г, г2, ...,Zn по формуле
Tju (Z) = (FP)" U (^f-) • (27)
Наконец, если взять .вещественно-аналитический характер б L6 = б'"б", то получим вещественно-аналитические представления SL (2, С). Таким образом, всякое неприводимое конечномерное представление SL (2, С) определяется парой (т, п) неотрицательных целых чисел. Оно задано в пространстве всех полиномов и (z, z) степени, не большей чем ал по г и не большей чем п по z, согласно формуле
Tl6U (г, г) = (Рг + б)- (рйТб)" и , ) . (28)
Другими словами, всякое вещественно-аналитическое неприводимое представление группы SL (2, С) является тензорным произведением вида
TL4»f^, (29)
где T?i и T^2 —- комплексно-аналитические неприводимые"'представления группы G1 a Tl обозначает сопряженное к T1 представление.
При сужении на подгруппу SU (2) формула (24) дает неприводимое унитарное представление SU (2) (см. упражнение 9.2.1). Действительно, используя «унитарный трюк Вейля», мы приходим к заключению, что каждое неприводимое представление группы SU (2) является сужением неприводимого комплексно-аналитического " представления группы SL (2, С) на подгруппу SU (2). Конечномерные представления групп Jlu
261
§ 3. Представления групп GL (п, С), GL (п, R), V(p,q), U (п), SL (п,С), SL (n,R), SU (p,q) и SUfa)
Теорема 2.2 сводит задачу классификации всех неприводимых представлений группы G к задаче перечисления всех индуктивных старших весов. В данном параграфе мы решаем эту задачу для полной линейной группы GL (п, С), для SL (п, С) и для их вещественных форм.
А. Представления группы GL (п, С)
Разложение Гаусса для GL (п, С), G = $DZ, дается согласно
1 Sl2 • • • Sln 1
s =
п
1
Л
о"
Z =
— /її» СПЧ
п-1
(1)
Комплексно-аналитический характер L группы D имеет вид
б_.1е = бГ'02тг ••• (2)
где Inl — целые числа.
теорема 1. Всякое комплексно-аналитическое неприводимое представление группы GL (п, С) определяет и в свою очередь определяется старшим весом т = (mlt т2, ..., тп), компонентами которого являются целые числа, удовлетворяющие условиям
тг > т2 т3 >
> тп.
(3)
Пространство представления Ht (Z) состоит из полиномов от матричных элементов Zpq элемента z ? Z.
Представление Tl действует в Hl (Z) при помощи формулы
TLtu(z)= L~tu(z-\ (4) 262
Г лава 5
где б и z2 — мноокители в разложении Гаусса элемента g = = Zg= 1§г~.
доказательство. Согласно теореме 2.2, всякое комплексно-аналитическое неприводимое представление GL (я, С) является представлением Tl, индуцированным при помощи комплексно-аналитического характера б —*¦ L6 подгруппы D. Таким образом, Uil — целые числа. Как следует из утверждения 2.3, представление Tl может быть реализовано в пространстве Ht (Z) полиномов и (г) от матричных элементов Zrq элемента г f Z. Чтобы классифицировать все неприводимые представления, необходимо найти все допустимые старшие веса.
Пусть L0 — сужение L на подгруппу D0, состоящую из матриц вида
-К о"
<\ -
о
Подгруппа G0 всех матриц вида "а ?
(5)
8 =
y б
1
о
о
1
