О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
О некоторых вопросах теории моментов
Автор: Ахиезер Н.Другие авторы: Крейн М.
Издательство: Х.: АНТВУ
Год издания: 1938
Страницы: 257
Читать: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69
Скачать:
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ ХГУ
Н. АХИЕЗЕР и М. КРЕЙН
О НЕКОТОРЫХ ВОПРОСАХ ТЕОРИИ МОМЕНТОВ
ГОНТИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ НКТП
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УКРАИНЫ
Харьков 1938Библиографическое описание этого издания помешено в »Летописи Укр. печати" ,Карточном реперт," и других указателях Укр. Кннжн. Палаты.
5 — 4
Ответств. редактор С. Г. Шовло Технический редактор Ф. И, Бергер Литредактор В. Зисельман Корректора Е. В. Архангельская
и Н. П. Трохименко
Сдано в производство 25/Ш 1938 года. Подписано к печати 7/IX 1938 г-Формат 62x90 Vle-SТираж 3000. Уч.-авт. л. 19,2. Печ. л. 16. Уполном. Главлита № 536. Учетный;№ 4698. Технико-теоретическая редакция № 72. Колич. печ. знаков в печ. л. 34560.
Киевская типография ОБОРОНГИЗА. Крещатик, № 42. Зак. № 65.ОТ АВТОРОВ
Предметом настоящей книги являются некоторые специальные вопросы, относящиеся к так называемой проблеме моментов, которые по тем или иным причинам попали в поле интересов авторов.
Книга разбита на отдельные статьи, которые в основном читаются независимо одна от другой; однако, не следует думать, что эти статьи не связаны между собой, наоборот, между ними есть тесная связь и статьи расположены в известной логической последовательности.
Основная статья (L — проблема моментов) своим отправным пунктом имеет некоторые (мало известные) идеи и проблемы, выдвинутые покойным академиком А. А. Марковым [13 b,c,d] '. В ряде работ авторы [1 а — г] завершили и обобщили результаты А. А. Маркова, связавн и их с современными теориями, которые А. А. Маркову, повидимому, были неизвестны.
Следующие три статьи трактуют в свете функционального анализа некоторые из вопросов, решенных или затронутых в первой статье.
Дальнейшие две статьи посвящены различным применениям одного класса функций (названных авторами N-функциями), играющего большую роль в проблеме моментов.
Как это обычно бывает, авторы предполагают написать, по крайней мере, еще одну книгу, куда попадут все важные вопросы теории, не нашедшие себе места в этой книге.
Поэтому они надеются, что их никто не будет упрекать в том, что вопросы определенности проблемы моментов в этой книге остались неосвещенными.
* Числа в квадратных скобках относятся к указателю литературы, помещенному в конце книги.СТАТЬЯ 1
Н. АХИЕЗЕР u М. КРЕЙH
L — ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
ГЛАВА 1 Функционалы <3 и S
Пусть задана последовательность вещественных чисел
(S) Sq, sj, S2,- • •, s11',
определим в пространстве полиномов (вообще говоря, комплексных)
Gn(M) = A0 +A1U+...+AnUn
степени не выше п-ой функционал S, полагая
<3{Gn} = A0S0 + A1S1+ ... +A„sn.
Условимся называть последовательность (s) позитивной (соответственно ненегативной) в некотором интервале J ОСИ—OO <«<00, если из соотношений
Gn(U) фО, Gn(U) > О (u CJ)
всегда следует неравенство (S{Gn}>0 (соответственно S{Gn}>0).
Подобным образом, если задана последовательность комплексных чисел
(с) cq о, c1, . . ., cn,
определим в пространстве квазиполиномов
Tn(Z) = -^iAkZ* (z = eH)
ft=—п
„степени" не выше п-ой функционал Є, полагая
&{Tn}=j±Akck,
к=-п
где
C_k= Ck (k — 1, 2,..., п)
(черта означает переход к комплексно сопряженной величине). 4Очевидно, что если Тп(еи) есть вещественный тригонометрический полином (A_fe = Afe, k — О, 1,..., п), то и значение функционала (?{/¦„} есть число вещественное.
Условимся называть последовательность (с) позитивной (соответственно ненегативной) на некоторой дуге В окружности если из соотношений
Tn(Z) фО, TAeit )> 0 (tQ. В)
всегда следует неравенство
<? { Tn} > 0 (соответственно Є { Tn} > 0).
Легко построить примеры позитивных и негативных последовательностей.
1. Возьмем какие-нибудь числа
Pi > о, ?2 > 0,..., Pm > О
и положим
<*> - PiSj +M*+-• • + (ft-0, 1,2,...).
Если
Gn (и) = ^o+ A1U + ... 4- AnIiri,
то
S { Gn ) = P1 Gn (S1) -f- P2 Gii (Sj)H----+ Pm Gn (im)-
Поэтому при а < S1, і > Zm последовательность
Sq, Slt. . . , Sn
позитивна в интервале < а, 6>, если и иенегативиа, если n>2m — 1.
Та же последовательность в интервале < ?,, Sm > будет позитивна только при л <; 2т—3, оставаясь ненегативной при п>2т — 3.
2. Возьмем в интервале (а, Ь) вещественную интегрируемую функцию
ь
P (х) > 0, для которой Jр (х) dx > 0, и
положим
Sk= I XkP (X) dx (? = 0,1,2 ....,л)
(предполагая в случае бесконечности интервала (я, 6), что все введенные интегралы имеют смысл). Так как
то последовательность
{ Gn } =Jgii (X)P (X) dx.
^i.....^n
позитивна в интервале (а, Ь).
Подобным образом можно построить позитивные и негативные последовательности (с) на дуге окружности.Пользуясь интегралом Stieltjes'a, можно объединить оба приведенных примера в один, полагая
ь
(**) Sk= j'xkd з (X) (ft = 0, 1, 2,...),
а
где а (jc) — некоторая ограниченная неубывающая фуикцня.
В дальнейшем мы увидим, что всякая конечная ненегативная в интервале (a, b){—оо< а < b < оо) последовательность (s) допускает представление (**). Особенно простое и изящное доказательство этого факта дал М. Riesz [37].