- .
( ):
Рассмотрим коммутатор „противоположных зарядов" (т. е. генераторов, соответствующих противоположным корням), который в стандартной формулировке алгебры Ли равен линейной комбинации диагональных генераторов ‘)
[Qa,Q_a] = «'Qr (16)
В частности, в случае 5£/3-алгебры alQt является линейной комбинацией заряда и гиперзаряда, ее матричные элементы диагональны и не перенормировываются. Далее возьмем среднее значение оператора (16) в каком-нибудь определенном состоянии
(a\[Qa, Q-a] [ a) = аг (а | Q( | a). (17)
получим следующую формулу:
[Qa. <pl = Itai [ J Pa (*)> *pl ei9XQ (- *0) d*x +
+1ч J [4a) м» e%qx e(- *o)
и воспользуемся ею в дисперсионном соотношении. В пределе <7р,->0 второй член обращается в нуль, и мы получаем прежние результаты. Для вычисления же полюсного члена нужно использовать оба слагаемых, сумма которых полностью однозначна. Можно вначале положить q-> О, введя небольшое нарушение симметрии, или, наоборот, сначала положить нарушение-симметрии равным нулю. В этом случае весь полюсной член получается из второго слагаемого.
*) Мы обозначим через Qa генераторы, соответствующие (ненулевому) корню а, а через Q,- взаимно коммутирующие генераторы.
5. Дисперсионная теория нарушенных симметрий
173
Используя для Q±a представления
9±<*“ ± J 5±аМ0(+^о)Л- (18)
получаем
(a(pi)|[Qa. Q-a]|a(p2)) =
= - j d4x d4y (a (p,) | [Da (x), D_0 (y)}|a (p2)> 0 (- *0) 0 (y0) =
— (2я)3 6 (Pl — p2) M', (19)
где
M' = J zo0 (- z0) d*z (a| [Da (г), D_a (0)] |a). (20)
Введем снова величину
Ф(£)= { Q(-z0)d*z(a\[Da(z), D_a(0)]|a)elkz. (21)
Поскольку теперь внешние массы равны, то Д2*=0, и мы будем иметь дело с дисперсионным соотношением для рассеяния вперед. При этом мы получаем
М' = — i lim -Jj— Ф{к) — — i lim . (22)
k->0 0*Q ma v-»0
С другой стороны'), так как
(a|Q,|a> = с'я (2я)38 (р, - р2) 2 Еа, (23)
где ^-соответствующие коэффициенты Клебша—Гор-
дана, то мы получаем инвариантное правило сумм
Я 1 т- 5Ф 1
lim—— =1. (24)
aicL 2ma v-»0 dv
Равенство (24) является релятивистским эквивалентом соотношений (3.12) и (3.13) работы [2]. Записав теперь дисперсионное соотношение для O(v)
<£(V) = ± ГAihldv'-± Г (25)
w я J V —V я J V—V ’
!) Для упрощения обозначений мы используем инвариантную нормировку состояний {pi | р2) = 2£6 (pi — р2) (2я)3.
174
С. Фубини, Дж. Фурлан, К■ Росетти
где
А' <v> = Т h ^4 b(p + k~pn)(a\ Da (0) | п) (n\D-a (0) |а>,
тг
(26)
Av (v) = j 5] (2я)4 b(p-k-pn) (a\D-a (0) | n) (n\Da (0) | a),
(26')
мы можем отделить от вклада непрерывного спектра ~ одночастичные полюсы, вычеты в которых пропорциональны квадратам констант перенормировки. Вклад непрерывного спектра можно формально выразить через сечение рассеяния безмассовых скалярных частиц, соответствующих „токам" D±а.
Заметим, что производная d/dv в равенстве (24) дает квадрат энергии в знаменателе, что увеличивает вклад полюсного члена еще на порядок. Мы получаем таким образом дисперсионный аналог тецремы Адемолло — Гатто [6].
§ 3. Приложения
3.1. В предыдущем параграфе для иллюстрации метода мы рассматривали скалярный оператор и бесспиновые частицы. Обобщение на высшие спины не представляет существенной трудности, однако приводит к более сложным выражениям. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.
